falscher Münzwurf < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:57 Fr 12.11.2010 | | Autor: | Damasus |
| Aufgabe | Wir betrachten eine verfälschte Münze, die mit Wahrscheinlichkeit [mm] $p\in [/mm] (0,1)$ Kopf zeigt. Wenn wir diese Münze zweimal werfen, interpretieren wir das Ereignis "Zuerst Kopf, dann Zahl" als Erfolg, das Ereignis "Zuerst Zahl, dann Kopf" als Misserfolg. Falls keines dieser Ereignisse eintritt, wird das Experiment "Münze zweimal werfen" so oft durchgeführt, bis eine Entscheidung möglich ist.
Zeigen Sie, dass die Entscheidung für Erfolg oder Misserfolg (sobald diese möglich ist) zu einer [mm] $B(1,\bruch{1}{2}$-Verteilung [/mm] führt. Man kann also auch mit einer (womöglich) unfairen Münze ein faires Spiel simulieren. |
Guten Abend zusammen,
obiges Problem ist gestellt. Es gibt 3 Punkte auf die Aufgabe, was viel ist, d.h. die Aufgabe soll anscheinen schwer sein. Aber reicht nicht folgende Begründung:
Sei [mm] $p=a\in [/mm] (0,1)$ die WS, dass Kopf kommt.
$P(Kopf,Zahl) = a*(1-a) = [mm] a-a^{2}$ [/mm] und [mm] $P(Zahl,Kopf)=(1-a)*a=a-a^{2}$ [/mm] Also ist die Sieg-WS oder Niederlage-WS gleich. Die Fälle (Kopf, Kopf) oder (Zahl, Zahl) interessieren uns nicht.
Denke ich zu einfach?
Gruß Damasus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:29 Fr 12.11.2010 | | Autor: | vivo |
hallo,
selb wkei schon aber nicht 0.5 wie in der aufgabe scheinbar verlangt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:37 Fr 12.11.2010 | | Autor: | Damasus |
Ja und welche Wahrscheinlichkeit ist dann gesucht? Aber die WS beträgt doch 50% wenn das Spiel zählt.
Muss ich also die WS für Kopf unter der Bedinung, dass SPiel überhaupt zählt ausrechnen? (also Bedingte WS).
nirgends kommt 0,5 raus^^
Gruß Damasus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:08 Fr 12.11.2010 | | Autor: | Walde |
Hi Damasus,
deine erste Idee ist schon die Richtige.Für die vollen 3 Punkte müsste man das wohl noch mathematisch aufschreiben. Leider weiss ich nicht, was ihr so für Vorkenntnisse habt. Es könnte daher sein,dass ich es zu kompliziert erkläre. Ich gehe davon aus,dass du weisst, dass ein W'keitsraum aus Ergebnisraum (meist [mm] \Omega), [/mm] einer [mm] \sigma-Algebra=die [/mm] Menge der Ereignisse (meist [mm] \mathcal{F}) [/mm] und W'keitsmaß P besteht.
Man hat ja beim einmaligen "es wird zweimal eine Münze geworfen" die möglichen Ausgänge
{(K,Z);(Z,K);(K,K);(Z,Z)},
die ich mit E=(K,Z) M=(Z,K) und U=(K,K) oder (Z,Z) also Erfolg, Misserfolg, Unentschieden abkürze.
Man hat also einen W'keitsraum mit
[mm] \Omega=(E,M,U) [/mm]
als [mm] \sigma-Algebra [/mm] die Potenzmenge von [mm] \Omega [/mm]
und mit W'keitsmaß P mit [mm] P(E)=P(M)=a-a^2 [/mm] und [mm] P(U)=1-2(a-a^2)
[/mm]
Es wird nun so oft geworfen, bis ein Erfolg oder Misserfolg eintritt. Der neue Ergebisraum besteht nun aus
[mm] \Omega'=\{(E);(M);(U|E);(U|M);(U|U|E);(U|U|M);...\} [/mm] der Menge aller n+1 Tupel, [mm] n\ge [/mm] 0, die als letzten Eintrag E oder M haben.
Zu einem W'keitsraum fehlt jetzt noch eine passende [mm] \sigma-Algebra [/mm] (wieder die Potenzmenge von [mm] \Omega' [/mm] würde ich sagen) und ein W'keitsmass, dass du denke ich selbst angeben kannst.
Jetzt kommts: Eine Zufallsvariable X, die von diesem Raum auf folgenden abbildet:
[mm] \Omega^\*=\{E^\*,M^\*\}
[/mm]
[mm] \mathcal{F}=Potenzmenge [/mm] von [mm] \Omega^\*
[/mm]
[mm] P_X [/mm] (als W-Maß hast du das von X transportierte Maß)
und definiert ist als [mm] X:\Omega'\to\Omega^\* [/mm] durch
[mm] X(E)=X((U|E))=X((U|U|E))=...=E^\* [/mm] bzw.
[mm] X(M)=X((U|M))=X((U|U|M))=...=M^\*
[/mm]
ist jetzt binomialverteilt mit [mm] p:=P_X(E^\*)=P_X(M^\*)=0,5 [/mm] .
Dass letzteres gilt, müsste man eben jetzt noch nachrechnen. (Man muss die geometrische Reihe zu Hilfe nehmen.)
Ich hoffe, dass hat mehr geholfen als verwirrt.
LG walde
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> Wir betrachten eine verfälschte Münze, die mit
> Wahrscheinlichkeit [mm]p\in (0,1)[/mm] Kopf zeigt. Wenn wir diese
> Münze zweimal werfen, interpretieren wir das Ereignis
> "Zuerst Kopf, dann Zahl" als Erfolg, das Ereignis "Zuerst
> Zahl, dann Kopf" als Misserfolg. Falls keines dieser
> Ereignisse eintritt, wird das Experiment "Münze zweimal
> werfen" so oft durchgeführt, bis eine Entscheidung
> möglich ist.
>
> Zeigen Sie, dass die Entscheidung für Erfolg oder
> Misserfolg (sobald diese möglich ist) zu einer
> [mm]B(1,\bruch{1}{2}[/mm]-Verteilung führt. Man kann also auch mit
> einer (womöglich) unfairen Münze ein faires Spiel
> simulieren.
> Guten Abend zusammen,
> obiges Problem ist gestellt. Es gibt 3 Punkte auf die
> Aufgabe, was viel ist, d.h. die Aufgabe soll anscheinen
> schwer sein. Aber reicht nicht folgende Begründung:
> Sei [mm]p=a\in (0,1)[/mm] die WS, dass Kopf kommt.
> [mm]P(Kopf,Zahl) = a*(1-a) = a-a^{2}[/mm] und
> [mm]P(Zahl,Kopf)=(1-a)*a=a-a^{2}[/mm] Also ist die Sieg-WS oder
> Niederlage-WS gleich. Die Fälle (Kopf, Kopf) oder (Zahl,
> Zahl) interessieren uns nicht.
>
> Denke ich zu einfach?
>
> Gruß Damasus
Hallo Damasus,
du denkst nicht zu einfach, sondern schon fast raffiniert.
Die Ergebnismenge des Zwei-Wurf-Experiments ist die
Menge $\ G\ =\ [mm] \{\ KK , KZ , ZK , ZZ\ \}$ [/mm] . Ignoriert man alle
Zweierwürfe "KK" und "ZZ", so bleibt als eingeschränkte
Grundmenge $\ G'\ =\ [mm] \{\ KZ , ZK\ \}$ [/mm] . In Bezug auf diese neue
Grundmenge hast du schon gezeigt, dass P(KZ)=P(ZK).
Da es in G' ausser KZ und ZK keine weiteren Möglichkeiten
gibt, muss auch P(KZ)+P(ZK)=1 sein. Damit folgt dann für
die betrachteten (bedingten) Wahrscheinlichkeiten eben
[mm] P(KZ)=P(ZK)=\frac{1}{2} [/mm] .
LG Al-Chw.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:58 Sa 13.11.2010 | | Autor: | luis52 |
Moin Damasus,
ich moechte gerne noch einen weiteren Loesungsvorschlag machen.
Die Wsk in einem Versuch weder (KZ) noch (ZK) zu erhalten ist $1-p(1-p)-(1-p)p=1-2p(1-p)_$. Einen Treffer zu erzielen bedeutet ja, dass (KZ) im $n_$-ten Versuch auftritt und in den Versuchen zuvor weder (KZ) noch (ZK), [mm] $n=1,2,3,\dots$. [/mm] Wegen der Unabhaengigkeit ist damit die Wsk hierfuer [mm] $(1-2p(1-p))^{n-1}p(1-p)$. [/mm] Die Summe hiervon ist 1/2.
vg Luis
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Hallo Damasus,
du meinst natürlich nicht falschen Münzwurf,
sondern Falschmünzen-Wurf !
Ein anderer Thread läuft gerade unter dem Titel
"quadratische Lösungsformel" . Auch das ist falsch.
Gemeint ist die Lösungsformel für quadratische
Gleichungen.
Vor Jahren wunderte ich mich einmal über die
Anschrift, die in großen Lettern an einer alten
Fassade prangte: "MÄDCHENHANDELSSCHULE".
Das war zwar wohl nicht falsch, aber doch ganz
nett zweideutig ... 
LG Al-Chwarizmi
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