fast sichere Konvergenz ZV < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es seien [mm] X_{n}, [/mm] X, [mm] Y_{n}, [/mm] Y : Omega [mm] \to \IR [/mm] Zufallsvariablen. Man beweise:
Es gelte [mm] X_{n} \to [/mm] X fast sicher sowie [mm] Y_{n} \to [/mm] Y fast sicher. Weiter seien die [mm] Y_{n} [/mm] und Y bei keinem w gleich Null. Dann gilt auch [mm] X_{n}/Y_{n} \to [/mm] X/Y fast sicher. |
Hallo ihr.
Ich brauche mal eine Idee zum Lösen dieser Aufgaben. Wir haben fast sichere Konvergenz wie folgt definiert. [mm] X_{n} \to [/mm] X fast sicher [mm] \gdw [/mm] P({w | [mm] X_{n}(w) \to [/mm] X(w)})=1. Außerdem haben wir bereits gezeigt, dass die fast sichere Konvergenz auch für die Addition und die Multiplikation gilt. Aber wie mache ich das hier? Division ist ja auch bei punktweiser Konvergenz in der Analysis nicht definiert, oder? Hat jemand einen Tipp? Dank euch schon mal im Voraus. Nora
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:23 Mo 18.01.2010 | | Autor: | vivo |
Hallo,
für stetige Funktionen [mm] \varphi [/mm] gilt:
[mm] \varphi (Y_n) \to \varphi [/mm] (Y), falls [mm] Y_n \to [/mm] Y
jeweils fast sicher.
gruß
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Hallo.
Also erstmal vielen Dank für die schnelle Lösung. Das heißt also, dass phi bei mir [mm] X_{n}/x [/mm] wäre? Oder wie soll ich das phi verstehen? Das war irgendwie ein bisschen schnell. Also vielleicht noch mal für mich? Bitte.
Dank dir. Nora
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:54 Mo 18.01.2010 | | Autor: | vivo |
Hallo,
es gilt ja [mm] X_n \to [/mm] X und [mm] Y_n \to [/mm] Y, da [mm] Y_n [/mm] und Y nie null ist, ist
[mm] \varphi (Y_n) [/mm] = [mm] \bruch{1}{Y_n} [/mm] eine stetige funktion und
[mm] \varphi (Y_n) \to \varphi [/mm] (Y)
bennen wir [mm] \varphi (Y_n) [/mm] := [mm] Z_n [/mm] und [mm] \varphi [/mm] (Y) := Z
dann haben wir insgesamt [mm] X_n \to [/mm] X und [mm] Z_n \to [/mm] Z da du geschrieben hast ihr habt es für Produkte schon gezeigt benutzen wir dass einfach und wissen somit:
[mm] X_nZ_n \to [/mm] XZ
und [mm] X_nZ_n [/mm] = [mm] X_n\bruch{1}{Y_n}
[/mm]
XZ = [mm] X\bruch{1}{Y}
[/mm]
gruß
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