fehler finden < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:53 Mi 22.11.2006 | | Autor: | AriR |
| Aufgabe | Wo steckt der Fehler im folgenden Beweis?
Behauptung: Alle reellen Zahlen sind gleich.
Beweis: Für n [mm] \ge [/mm] 1 natürliche Zahl sei A(n) die Aussage
[mm] a_1, a_2, [/mm] . . . , [mm] a_n \in\IR \rightarrow a_1 [/mm] = [mm] a_2 [/mm] = · · · = [mm] a_n.
[/mm]
(A(n) sagt also aus: je n reelle Zahlen sind gleich.)
Wir zeigen die Richtigkeit von A(n) mittels vollständiger Induktion.
Induktionsanfang n = 1
A(1) ist richtig, da nur eine reelle Zahl betrachtet wird.
Induktionsschritt [mm] n\to [/mm] n + 1
Seien [mm] a_1, a_2, [/mm] . . . , [mm] a_{n+1} [/mm] reelle Zahlen. Nach Induktionsvoraussetzung ist [mm] a_1 [/mm] = [mm] a_2 [/mm] = · · · = [mm] a_n
[/mm]
und [mm] a_2 [/mm] = [mm] a_3 [/mm] = · · · = [mm] a_{n+1}. [/mm] Folglich gilt [mm] a_1 [/mm] = [mm] a_2 [/mm] = · · · = [mm] a_{n+1}. [/mm] Damit ist A(n+1) bewiesen. |
hey leute,
ich würde sagen der fehler steckt in der Aussage:
[mm] "a_2 [/mm] = [mm] a_3 [/mm] = · · · = [mm] a_{n+1}"
[/mm]
da mann dies für [mm] a_{n+1} [/mm] ja eigentlich zeigen muss und nicht annehmen kann laut IV
könnt ihr mir da zustimmen? wenn ja, ist die begründung so richtig?
Gruß Ari
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:11 Mi 22.11.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
der Fehler liegt im Induktionsanfang.
Die Beh. ist eine Gleichung, a1 ist keine Gleichung, hat also mit der Beh. nichts zu tun.
Gruss leduart.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:46 Mi 22.11.2006 | | Autor: | AriR |
ach stimmt danke..
ist denn auch ein fehler im IS oder darf man sagen [mm] a_2=...=a_{n+1} [/mm] da laut IV immer n reelle zahlen gleich sind?
ich dachte laut IV hat man nur, dass die ersten n zahlen gleich sind, ist das nicht so?
gruß ari
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Der Fehler liegt nicht im Induktionsanfang. Der ist nämlich richtig, da die Behauptung leer ist.
Dagegen sollte man einmal den Induktionsschritt [mm]n=1 \mapsto n=2[/mm] genauer betrachten.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:30 Mi 22.11.2006 | | Autor: | AriR |
irgendwie verstehe ich nicht so ganz was du meinst :(
meinst du ca das selbe, was ich am anfang gesagt habe?
also das man diese gleichheit mit dem [mm] a_{n+1} [/mm] nicht nach IV voraussetzen kann?
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Der Beweis ist "fast richtig". Er hakt nur an einer einzigen Stelle, nämlich dem Induktionsschritt [mm]1 \mapsto 2[/mm]. Dagegen klappt zum Beispiel der Induktionsschritt [mm]2 \mapsto 3[/mm] und alle andern ebenso. Schreibe dir doch den Induktionsschritt [mm]2 \mapsto 3[/mm] ausführlich hin. Dann den von [mm]1 \mapsto 2[/mm]. Dann wirst du sehen, was schiefläuft.
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