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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:16 Mi 04.06.2014 | | Autor: | Laura87 |
| Aufgabe | | Sie wollen die Funktion [mm] f(x)=\bruch {lnx}{1+x^2} [/mm] an einer ihnen unbekannten stelle [mm] x\in [/mm] [1/3, 2] auswerten. Dazu wollen Sie einen Messwert x' [mm] \in [/mm] [1/3, 2] benutzen. Wie groß sollte der absolute Fehler von x' höchstens sein, damit sie einen gesicherten absoluten Fehler in f (x') von höchsten 0.01 erreichen? |
Hallo Zusammen,
ich komme bei dieser Aufgabe an einer Stelle verständnisprobleme und bitte um Hilfe.
Es gilt: [mm] f'(x)=\bruch {1+x^2-2x^2×lnx}{x (1+x^2)^2}
[/mm]
Auf [1/3, 2] gilt dann f'(x) [mm] \le \bruch {1+x^2-2x^2×lnx}{x (1+x^2)^2} \le [/mm]
(Und hier taucht mein problem auf. Ich würde jetzt überall wo ein x ist, die 2 einsetzen, da es ja höchstens heißt. Laut meinem Übungsleiter folgt jedoch...
[mm] \bruch {1+2^2+2*2^2×ln3}{1/3 (1+1/9)^2}
[/mm]
warum setze ich bei den ersten beiden x die 2 und danach die 1/3 ein?
Vielen Dank im Voraus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:29 Mi 04.06.2014 | | Autor: | fred97 |
> Sie wollen die Funktion [mm]f(x)=\bruch {lnx}{1+x^2}[/mm] an einer
> ihnen unbekannten stelle [mm]x\in[/mm] [1/3, 2] auswerten. Dazu
> wollen Sie einen Messwert x' [mm]\in[/mm] [1/3, 2] benutzen. Wie
> groß sollte der absolute Fehler von x' höchstens sein,
> damit sie einen gesicherten absoluten Fehler in f (x') von
> höchsten 0.01 erreichen?
> Hallo Zusammen,
>
> ich komme bei dieser Aufgabe an einer Stelle
> verständnisprobleme und bitte um Hilfe.
>
> Es gilt: [mm]f'(x)=\bruch {1+x^2-2x^2×lnx}{x (1+x^2)^2}[/mm]
>
> Auf [1/3, 2] gilt dann f'(x) [mm]\le \bruch {1+x^2-2x^2×lnx}{x (1+x^2)^2} \le[/mm]
>
> (Und hier taucht mein problem auf. Ich würde jetzt
> überall wo ein x ist, die 2 einsetzen, da es ja höchstens
> heißt. Laut meinem Übungsleiter folgt jedoch...
>
> [mm]\bruch {1+2^2+2*2^2×ln3}{1/3 (1+1/9)^2}[/mm]
>
> warum setze ich bei den ersten beiden x die 2 und danach
> die 1/3 ein?
>
> Vielen Dank im Voraus
>
Betrachten wir zunächst den Zähler [mm] 1+x^2-2x^2×lnx
[/mm]
Für $ [mm] x\in [/mm] $ [1/3, 2] ist [mm] 1+x^2-2x^2×lnx \le 1+2^2-2x^2lnx
[/mm]
Weiter ist lnx [mm] \ge [/mm] ln(1/3)=-ln3, also
-lnx [mm] \le [/mm] ln3.
Mit [mm] 2x^2 \le 2*2^2 [/mm] folgt daraus: [mm] -2x^2*lnx \le [/mm] 2*2^2ln3
Damit haben wir: [mm] 1+x^2-2x^2×lnx \le 1+2^2-2x^2lnx \le 1+2^2+2*2^2ln3.
[/mm]
Die Abschätzung für den Nenner folgt dem Motto:
aus 0<b [mm] \le [/mm] a folgt [mm] \bruch{1}{a} \le \bruch{1}{b}
[/mm]
FRED
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