figur verdrehung/translation < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:19 Mo 19.09.2005 | | Autor: | daniel77 |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo !
Folgendes Problem :
Eine (2d)Figur wird definiert aus einer Anzahl n von Punkten(x,y).
Zum Beispiel ein Quadrat beschrieben durch seine Eckpunkte.
Danach wird diese Figur verschoben und verdreht !
Die sich neu ergebene Position der Punkte sind mir ebenfalls bekannt !
Wie kann ich jetzt den Rotationswinkel und die Translation(bezüglich der Ausganslage) ermitteln?
Ansatz bisher :
Ich erstelle mir Vektoren von Pn->Pn und kann den Winkel zu den Koordinatenachsen bestimmen !
Die Winkelzusammenhänge der Figur in der Ausgangslage können über Vektoren Paare (An-An) errechnet werden !
Die Winkelzusammenhänge der verdrehten und verschobenen Figur kann ich ebenfalls über Paare (En-En) errechnen!
Die Differenz der jeweiligen Winkel entsprechen auch dem |Betrag| des Rotationswinkels.
Aber natürlich ergeben sich unterschiedliche Vorzeichen bei der Berechnung des Winkels.
Meine Frage :
Wie kann ich bestimmen in welche Richtung sich die Figur verdreht hat ? Also den positiver oder negativer Winkel um die Figur in die Ausgangslage zu drehen ?
Vielen Dank
Daniel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:09 Di 20.09.2005 | | Autor: | Marc |
Hallo daniel77,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> Hallo !
>
> Folgendes Problem :
>
> Eine (2d)Figur wird definiert aus einer Anzahl n von
> Punkten(x,y).
> Zum Beispiel ein Quadrat beschrieben durch seine
> Eckpunkte.
>
> Danach wird diese Figur verschoben und verdreht !
> Die sich neu ergebene Position der Punkte sind mir
> ebenfalls bekannt !
> Wie kann ich jetzt den Rotationswinkel und die
> Translation(bezüglich der Ausganslage) ermitteln?
Soweit ich es verstanden habe, ist die Rotation und die Translation keineswegs eindeutig bestimmt. Deswegen schlage ich mal von den vielen möglichen nur eine einfache Vorgehensweise vor:
Gegeben: [mm] $P_1, P_2, P_3, \ldots$ [/mm] und die Bildpunkte $P'_1, P'_2, P'_3, [mm] \ldots$
[/mm]
Nun drehe ich die Figur um [mm] $P_1$, [/mm] und zwar so, dass [mm] $\overrightarrow{P_1 P_2}=\overrightarrow{P'_1 P'_2}$ [/mm] (also insbesondere [mm] $\overline{P_1 P_2}\parallel \overline{P'_1 P'_2}$).
[/mm]
Der zugehörige Rotationswinkel ist gerade der Winkel [mm] $\angle\left( \overline{P_1 P_2},\overline{P'_1 P'_2}\right)$. [/mm] Diesen könntest du über die Formel (für's Skalarprodukt) ermitteln:
[mm] $\vec a=\vektor{a_1\\a_2}:=\overrightarrow{P_1 P_2}$
[/mm]
[mm] $\vec b=\vektor{b_1\\b_2}:=\overrightarrow{P'_1 P'_2}$
[/mm]
[mm] $\cos \angle\left( \overline{P_1 P_2},\overline{P'_1 P'_2}\right)=\bruch{\langle \vec a,\vec b\rangle}{|\vec a|*|\vec b|}$
[/mm]
Nun ist nur noch die Translation [mm] $\overrightarrow{P_1 P'_1}$ [/mm] auszuführen, und alle Punkte müssten auf ihren Bildern landen.
Ich nehme aber an, dass es eine weitere Bedingung gibt, die eingehalten werden muss, vielleicht eine Rotation um den Ursprung?
Viele Grüße,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:45 Di 20.09.2005 | | Autor: | daniel77 |
Hallo !
Vielen Dank, ich bin wirklich erstaunt, dass es Leute wie euch gibt, die sich die Mühe geben anderen zu helfen. Weiter So :)
zum Thema:
Du hast natürlich Recht, den Winkel hatte ich auch vorab schon so berechnet. Nur hatte ich gestern einen Knoten im Gehirn und mir ist erst heute eingefallen, dass eine Verdrehung von -20 Grad auch einer Verdehung von 340 Grad entspricht ;) Daher die Frage mit dem Vorzeichen.
Also vielen Dank nochmal.
Daniel
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