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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:23 Do 15.09.2005 | | Autor: | Phoney |
Hallo!
Ich denke die Aufgabe beschreibt am genausten mein Problem:
Der Graph [mm] G_{k} [/mm] und die x-Achse schließen ein Flächenstück ein, das sich im 1. Quadranten ins Unendliche erstreckt. Zeigen Sie, dass diesem Flächenstück für alle k ein endlicher Flächeninhalt [mm] I_{k} [/mm] zugeordnet werden kann.
Geben Sie den Wert von [mm] I_{k} [/mm] an.
Zunächst einmal muss ich leider sagen, dass ich noch nie verstanden habe, warum der Flächeninhalt eines Graphen wie z.B. der E-Funktion begrenzt ist. Daher ist die Aufgabe noch schwieriger
Die Funktionsgleichung lautet übrigens:
f(x) = (2x+k) * [mm] e^{\bruch{-1}{k}*x} [/mm] mit k>0
Mein Ansatz - Integral bilden mit den Integralsgrenzen Unendlich und Null, weil erster Quadrant
(Ich habe übrigens nach der Produktregel integriert. Integral ist völlig richtig) - Keine Ahnung, wie man obere und untere Integralsgrenzen darstellt.
[mm] \integral_{0}^{\infty} [/mm] {f(x) dx} = [mm] [-k(2x+3k)*e^{\bruch{-1}{k}*x}] [/mm]
Alles einsetzt komme ich auf:
[mm] =-k(2*\infty+3k)*e^{\bruch{-1}{k}}* \infty- (-k(2*0+3k)*e^{\bruch{-1}{k}*0})
[/mm]
Und wie mache ich nun weiter? Ich habe schon alles ausmultipliziert und den ln am Ende genommen, hilft mir aber nicht, weil da noch das Unendlich im Exponent und [mm] *2*\infty [/mm] steht.
Ist der Ansatz sogar schon falsch?????
Ist der Ansatz ok und ich löse dannach noch weiter falsch auf?
mfG Phoney
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Hallo Johann,
jepp, die Stammfunktion (nennen wir sie [mm]F[/mm]) ist perfekt.
Jetzt zum uneigentlichen Integral. Dazu müssen wir zeigen, dass [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} (-k*e^{-x/k}*(2x+3k)) [/mm] existiert. Das ist das gleiche wie [mm]-k*\limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{2x+3k}{e^{x/k}} [/mm] Und es ist sowohl [mm] 2x+3k \to \infty[/mm] als auch [mm]e^{x/k} \to \infty[/mm] für [mm]x \to \infty[/mm]. Deshalb können wir die Regel von l'Hospital anwenden und sowohl Zähler als auch Nenner ableiten, ohne dass sich der Grenzwert verändert! D.h. wir können schreiben:
[mm]-k*\limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{2x+3k}{e^{x/k}}=-k*\limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{2}{\bruch{1}{k}*e^{x/k}}= 0 [/mm], da der Zähler konstant, der Nenner aber immer noch divergent ist.
Jetzt zur Fläche im 1. Quadranten:
Diese geht bei 0 los. Denn ab wann wird die Funktion positiv ? Genau ab dem x, für das gilt
[mm](2x+k)e^{-x/k}=0 \gdw 2x+k=0 \gdw x=-\bruch{k}{2}[/mm] Da aber k positiv sein soll, ist das kleiner 0.
Es ist also genau [mm]I_k=-F(0)[/mm], da wir ja oben gezeigt haben, dass [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} F(x) =0[/mm] ist.
mfg
Daniel
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