floor von x < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 21:04 Do 12.05.2005 | | Autor: | mimi94 |
Ich habe diese Frage in keinem andren Forum gestellt.
Ich habe einen Beweis bekommen, denn ich nicht hinbekomme.
Hier ist die Aufgabe:
bezeichne [mm] k_{n}= |\bruch{-1}{2}+\wurzel{2n+\bruch{1}{4}}\perp
[/mm]
diese 2 Striche am Anfang und Ende (orthogonal-zeichen) sollen das Zeichen "floor von x" darstellen, da es dieses Zeichen hier nicht gibt, hab ich es so gemacht. wie orthogonal-zeichen, den unteren Strich aber nur der Gleichung zugewandt, wei L...._|
die größte Zahl [mm] k_{n}\in\IZ [/mm] mit [mm] k_{n}\le\bruch{-1}{2}+\wurzel{2n+\bruch{1}{4}}
[/mm]
Nun sollen wir 3 Dinge beweisen, aber ich komme mit dem floor von x nicht klar, und bin in beweisen sowieso nicht so gut.
a) [mm] \forall n\in\IN,\forall k\in\IN: k=k_{n}\gdw\bruch{1}{2} k(k+1)\le n<\bruch{1}{2}(k+1)(k+2)
[/mm]
[mm] Hinweis:k_{n} \ge [/mm] 0 (Warum) und [mm] \forall x\in\IR: [/mm] |x [mm] |\le [/mm] x< |x |+1
b) [mm] \forall n\in\IN:n-\bruch{1}{2} k_{n}(k_{n}+1)\le k_{n}
[/mm]
Hinweis: aus 2n<(k+1)(k+2) folgt [mm] 2n\le k^{2}+3k [/mm] (Warum??)
letzte sieht einfacher aus und versuche sie gerade allein
Kann mir jemand einen Ansatz geben und erklären was dieses floor von x bedeutet?
Danke
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:46 Fr 13.05.2005 | | Autor: | Marcel |
Hallo!
> Ich habe diese Frage in keinem andren Forum gestellt.
>
> Ich habe einen Beweis bekommen, denn ich nicht hinbekomme.
> Hier ist die Aufgabe:
> bezeichne [mm]k_{n}= |\bruch{-1}{2}+\wurzel{2n+\bruch{1}{4}}\perp[/mm]
>
> diese 2 Striche am Anfang und Ende (orthogonal-zeichen)
> sollen das Zeichen "floor von x" darstellen, da es dieses
> Zeichen hier nicht gibt, hab ich es so gemacht. wie
> orthogonal-zeichen, den unteren Strich aber nur der
> Gleichung zugewandt, wei L...._|
>
> die größte Zahl [mm]k_{n}\in\IZ[/mm] mit
> [mm]k_{n}\le\bruch{-1}{2}+\wurzel{2n+\bruch{1}{4}}[/mm]
>
> Nun sollen wir 3 Dinge beweisen, aber ich komme mit dem
> floor von x nicht klar, und bin in beweisen sowieso nicht
> so gut.
> a) [mm]\forall n\in\IN,\forall k\in\IN: k=k_{n}\gdw\bruch{1}{2} k(k+1)\le n<\bruch{1}{2}(k+1)(k+2)[/mm]
>
> [mm]Hinweis:k_{n} \ge[/mm] 0 (Warum)
Naja, es wurde doch für alle $n [mm] \in \IN$ [/mm] definiert:
[mm]k_{n}=\left\lfloor \bruch{-1}{2}+\wurzel{2n+\bruch{1}{4}}\right\rfloor[/mm].
Und nun gilt für jedes $n [mm] \in \IN$, [/mm] dass [mm] $2n+\frac{1}{4}\ge \frac{1}{4}$ [/mm] ist und da die [mm] $\wurzel{\;}$-Funktion [/mm] streng monoton wächst auf [mm] $\IR_{\ge 0}$, [/mm] folgt damit, dass für alle $n [mm] \in \IN$ [/mm] gilt:
[mm] $\wurzel{2n+\frac{1}{4}} \ge \wurzel{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}$ [/mm] und daraus folgt dies sofort (schau dir dazu auch unten nochmal die Definition der [mm] $\lfloor [/mm] . [mm] \rfloor$-Fkt. [/mm] an)!
> und [mm]\forall x\in\IR:[/mm] |x [mm]|\le[/mm]
> x< |x |+1
> b) [mm]\forall n\in\IN:n-\bruch{1}{2} k_{n}(k_{n}+1)\le k_{n}[/mm]
>
> Hinweis: aus 2n<(k+1)(k+2) folgt [mm]2n\le k^{2}+3k[/mm] (Warum??)
Nun, [mm] $g_n:=2n$ [/mm] ($n [mm] \in \IN$) [/mm] ist ja stets eine gerade Zahl. Wenn du nun $(k+1)(k+2)$ ausmultiplizierst, erhältst du:
[mm] $(k+1)(k+2)=k^2+3k+2$.
[/mm]
So, und nun schaun wir mal (und beachten, dass [mm] $g_n$ [/mm] stets gerade ist):
1.Fall:
$k$ gerade:
Dann ist [mm] $(k+1)(k+2)=k^2+3k+2$ [/mm] eine gerade Zahl. Also gilt:
[mm] $g_n \red{<} (k+1)(k+2)=k^2+3k+2$
[/mm]
[mm] $\gdw$
[/mm]
[mm] $g_n \red{\le}(k+1)(k+2)-2=k^2+3k+2-2=k^2+3k$
[/mm]
2. Fall:
$k$ ungerade:
Dann ist [mm] $(k+1)(k+2)=k^2+3k+2$ [/mm] gerade (denn für ungerades $k$ ist [mm] $k^2$ [/mm] ungerade und auch $3k$ ungerade und daher [mm] $k^2+3k$ [/mm] gerade!). Daher folgt wie im ersten Fall:
[mm] $g_n \red{<} (k+1)(k+2)=k^2+3k+2$
[/mm]
[mm] $\gdw$
[/mm]
[mm] $g_n \red{\le}(k+1)(k+2)-2=k^2+3k+2-2=k^2+3k$
[/mm]
> Kann mir jemand einen Ansatz geben und erklären was dieses
> floor von x bedeutet?
Es ist [mm] $\lfloor.\rfloor$: $\IR \to \IZ$ [/mm] die sogenannte Gaußklammer, welche wie folgt definiert ist:
[mm] $\lfloor [/mm] x [mm] \rfloor:=\mbox{\max}\left\{z \in \IZ:\;z \le x\right\}$ ($\forall [/mm] x [mm] \in \IR$).
[/mm]
Mit anderen Worten:
Für jedes reelle $x$ ist [mm] $\lfloor [/mm] x [mm] \rfloor$ [/mm] die größte ganze Zahl, die kleiner oder gleich $x$ ist. Diese Definition wurde aber oben auch angegeben, wobei man anstelle des $x$ halt [mm] $k_n$ [/mm] geschrieben hatte!
Und nun habe ich dir mal die Tipps erläutert, ich hoffe, das hilft dir erstmal weiter!
Viele Grüße,
Marcel
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