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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:52 So 14.02.2010 | | Autor: | muhmuh |
| Aufgabe | Die Folge [mm] a_n [/mm] n=0-> [mm] \infty
[/mm]
sei definiert durch [mm] a_0:= a_1 [/mm] := 1 a_(n+1) := [mm] 2*a_n [/mm] + 3* a_(n-1) n [mm] \in \IN [/mm] |
Hallo!
Ich bin mirunsicher, wie man an solche aufgaben herangeht,
wir hatten dazu in der Vorlesung kein Beispiel, und daher weiss ich nicht wie man das algebraisch löst.
ich hatte irgendwie an eine Matrizenkombination gedacht mit 2x2 Matrizen,
bin mir aber nicht sicher wie man das aufstellt.
ausgerechnet habe ich mal von hand [mm] a_2= [/mm] 5
[mm] a_3=13
[/mm]
[mm] a_4=41
[/mm]
[mm] a_5=121
[/mm]
[mm] a_6 [/mm] = 365
ich sehe aber leider keinen trend,
hat mir jemand einen tip fuer die herangehensweise?
danke!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:15 So 14.02.2010 | | Autor: | SEcki |
> ich hatte irgendwie an eine Matrizenkombination gedacht mit
> 2x2 Matrizen,
Es ist [m]\pmat{ 0 & 1 \\ 3 & 2 }\vektor{a_{n-1} \\ a_n}=\vektor{a_n \\ a_{n+1}}[/m]. Also [m]\vektor{a_n \\ a_{n+1}}=A^n\vektor{a_0 \\ a_{1}}[/m]. Jetzt kannst du lineare Algebra auf A werfen um eine geschlossene Form zu finden - zB wenn A in JNF ist ... da man aber ne Basiswechselmatrix braucht, rechne ich sicher nimma weiter. :p
Vielleicht sieht ja jemand eine geschlossene Form, also mal auf halb-beantwortet stehen lassen.
SEcki
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:47 So 14.02.2010 | | Autor: | Sax |
Hi,
man kann solche Rekursionen auch mithilfe einer erzeugenden Funktion lösen.
Setze [mm] y=f(x)=\summe_{n=0}^{\infty} a_n x^n [/mm]
[mm] (a_n [/mm] sind deine Folgenglieder).
Mit ein paar Indexverschiebungen kannst du deine Rekursion einsetzen und erhälst
y = [mm] a_0 [/mm] + [mm] a_1 [/mm] x + 2x(y- [mm] a_0) [/mm] + [mm] 3x^2 [/mm] y
= 1 + x + 2x(y-1) + [mm] 3x^2 [/mm] y
Das wird nach y aufgelöst und in eine Taylorreihe entwickelt.
Ein Koeffizientenvergleich liefert schließlich das Ergebnis
[mm] a_n [/mm] = 0,5 * [mm] (3^n [/mm] + [mm] (-1)^n)
[/mm]
Gruß Sax.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:30 So 14.02.2010 | | Autor: | halirutan |
Moin,
Dazu gibts ein nettes pdf:
![[]](/images/popup.gif) HIER
Da steht das einfach erklaert drin.
Cheers
Patrick
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:24 So 14.02.2010 | | Autor: | muhmuh |
danke, das ist ein guter link:)
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