folge grenzwert funktion diffb < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 09:34 So 25.01.2009 | | Autor: | AriR |
hey leute.. angenommen ich betrachte eine diffbare funktion [mm] f:\IR\to\IR [/mm] und eine folge [mm] a_n [/mm] mit [mm] \lim a_n=a [/mm] und [mm] f(a_n)=0 [/mm] für alle [mm] n\in\IN
[/mm]
da die fkt diffbar ist, ist diese auch stetig. kann man dann annehmen, dass diese funktion in einer kleinen eps. umgebung um a konstant ist da in jeder umgebung abzählbar unendlich viele pkt von [mm] f(a_n)=0 [/mm] "links oder rechts" von a liegen?
wenn ja wie kann ich das streng formal zeigen?
die eignetlich aufgabe ist diese hier:
| Aufgabe | Sei [mm] f:\IR\to\IR [/mm] eine Funktion, die in jedem Punkt [mm] x\in\IR [/mm] unendlich oft differenzierbare
ist. Sei [mm] (a_n)_{n\in\IN} [/mm] eine streng monoton fallende Folge mit [mm] \lim{a_n}=a\in\IR.
[/mm]
Zeigen Sie: Ist [mm] f(a_n)=0 [/mm] für alle n, so gilt [mm] f^{(n)}(a)=0 [/mm] für alle [mm] n\in\IN. [/mm] |
wobei [mm] f^{(n)} [/mm] die n-te ableitung soll wenn ich mich nicht irre.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:35 So 25.01.2009 | | Autor: | iks |
Moin Arir!
> hey leute.. angenommen ich betrachte eine diffbare funktion
> [mm]f:\IR\to\IR[/mm] und eine folge [mm]a_n[/mm] mit [mm]\lim a_n=a[/mm] und [mm]f(a_n)=0[/mm]
> für alle [mm]n\in\IN[/mm]
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> da die fkt diffbar ist, ist diese auch stetig. kann man
> dann annehmen, dass diese funktion in einer kleinen eps.
> umgebung um a konstant ist da in jeder umgebung abzählbar
> unendlich viele pkt von [mm]f(a_n)=0[/mm] "links oder rechts" von a
> liegen?
Die Funktion muss nicht konstant sein.
Sei [mm] $f(x)=\begin{cases}\sin(\frac{1}{x})\text{ }&\text{ }x\neq0\\0\text{ }&\text{ }x=0\end{cases}$, [/mm] $a=0$ und eine Folge [mm] $(a_n)$ [/mm] gegeben durch [mm] $a_n=\frac{1}{n\pi}$.
[/mm]
Dann ist [mm] $\lim_{n\to\infty} a_n=a$ [/mm] und [mm] $\forall n\in\IN:\mbox{ } f(a_n)=0$. [/mm] $f$ ist aber in keiner Epsilonumgebung von $a=0$ konstant.
mFg iks
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:45 Mo 26.01.2009 | | Autor: | fred97 |
> Moin Arir!
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> > hey leute.. angenommen ich betrachte eine diffbare funktion
> > [mm]f:\IR\to\IR[/mm] und eine folge [mm]a_n[/mm] mit [mm]\lim a_n=a[/mm] und [mm]f(a_n)=0[/mm]
> > für alle [mm]n\in\IN[/mm]
> >
> > da die fkt diffbar ist, ist diese auch stetig. kann man
> > dann annehmen, dass diese funktion in einer kleinen eps.
> > umgebung um a konstant ist da in jeder umgebung abzählbar
> > unendlich viele pkt von [mm]f(a_n)=0[/mm] "links oder rechts" von a
> > liegen?
>
> Die Funktion muss nicht konstant sein.
>
> Sei [mm]f(x)=\begin{cases}\sin(\frac{1}{x})\text{ }&\text{ }x\neq0\\0\text{ }&\text{ }x=0\end{cases}[/mm],
> [mm]a=0[/mm] und eine Folge [mm](a_n)[/mm] gegeben durch [mm]a_n=\frac{1}{n\pi}[/mm].
>
Diese Fkt. hat einen großen Nachteil:
Sie ist in 0 nicht differenzierbar !!
FRED
> Dann ist [mm]\lim_{n\to\infty} a_n=a[/mm] und [mm]\forall n\in\IN:\mbox{ } f(a_n)=0[/mm].
> [mm]f[/mm] ist aber in keiner Epsilonumgebung von [mm]a=0[/mm] konstant.
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> mFg iks
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:19 Mo 26.01.2009 | | Autor: | AriR |
weißt du denn wie man die untenstehende aufgabe in meiner ursprünglichen frage lösen könnte?
gruß ;)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:45 Mo 26.01.2009 | | Autor: | fred97 |
Ich mach Dir mal 2 Schritte vor:
[mm] a_n [/mm] ---> a und [mm] 0=f(a_n) [/mm] liefern : f(a) = 0
Dann: f'(a) = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{f(a)-f(a_n)}{a-a_n} [/mm] = 0.
Sein n [mm] \in \IN [/mm] . Wegen [mm] a_n [/mm] > [mm] a_{n+1} [/mm] und des Mittelwertsatzes gibt es ei [mm] t_n \in (a_{n+1}, a_n) [/mm] mit [mm] $f'(t_n)$ [/mm] = 0
Dann ist [mm] (t_n) [/mm] ebenfals streng fallend und [mm] t_n [/mm] ----> a.
Wie im ersten Schritt (mit [mm] t_n [/mm] statt [mm] a_n) [/mm] sieht man dann $f''(a) = 0$
Kommst Du jetzt weiter ?
FRED
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