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| Aufgabe | Gegeben: Zahlenfolge (an) n in IN
Es gelte lim n->unendlich an =a mit a>0. Zeigen sie, dass dann ein N in IN existiert mit an>0 für alle n>= N. |
Mein Ansatz:
a>0 daraus folgt a/2>0, also setze ich epsilon=a/2>0.
Also existiert ein N in IN, sa dass für alle n>=N gilt: lan-al<a/2.
an-a<=lan-al<a/2, also
an-a<a/2
daraus folgt an<a/2+a >0.
Aber das sagt mir ja noch nicht, dass an>0 ist.
ist der Ansatz dann falsch? Wies soll ich dann vorgehen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Gegeben: Zahlenfolge (an) n in IN
> Es gelte lim n->unendlich an =a mit a>0. Zeigen sie, dass
> dann ein N in IN existiert mit an>0 für alle n>= N.
> Mein Ansatz:
> a>0 daraus folgt a/2>0, also setze ich epsilon=a/2>0.
> Also existiert ein N in IN, sa dass für alle n>=N gilt:
> lan-al<a/2.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> an-a<=lan-al<a/2, also
> an-a<a/2
> daraus folgt an<a/2+a >0.
![[kopfkratz]](/images/smileys/kopfkratz.gif "[kopfkratz]")
> Aber das sagt mir ja noch nicht, dass an>0 ist.
> ist der Ansatz dann falsch?
Nein, der Ansatz ist absolut richtig, gewissermassen goldrichtig. Aber die Art und Weise, wie Du [mm] $|a-a_n|<\frac{a}{2}$ [/mm] ausgewertet hast, scheint mir nicht das Gelbe vom Ei zu sein. Wie wärs statt dessen mit
[mm]\red{a_n}=a-(a-a_n)\geq a-|a-a_n|> a-\tfrac{a}{2}=\tfrac{a}{2}\red{>0}[/mm]
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