formale Potenzreihe < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:09 Di 18.01.2011 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass eine formale Potenzreihe [mm] f=\summe_{n\geq0}a_nX^n \in [/mm] R[ [X] ] eine Einheit ist genau dann, wenn [mm] a_0 [/mm] eine Einheit in R ist.
[Anmerkung: R[ [X] [mm] ]:=\{a_0+a_1X+a_2X^2+...|a_i \in R\}, [/mm] wobei R ein kommutativer Ring mit Einselement ist] |
Ich habe nur eine Lösung für die Hin-Richtung:
[mm] \Rightarrow
[/mm]
Sei [mm] f=\summe_{n\geq0}a_nX^n \in [/mm] R[ [X] ] Einheit. Dann gilt
f*g=1 mit [mm] g\in [/mm] R[ [X] ], d.h.
[mm] \summe_{n\geq 0}a_nX^n [/mm] * [mm] \summe_{k\geq 0} b_kX^k=\summe_{i\geq 0}\underbrace{(\summe_{i=k+n}a_n*b_k)}_{=:c_i}X^i=1 [/mm]
Dann gilt: [mm] c_0=a_0b_0=a_0a_0^{-1}=1, [/mm] d.h. [mm] b_0=a_0^{-1} [/mm]
Also ist [mm] a_0 [/mm] Einheit von R.
Leider habe ich keine Ahnung, wie ich jetzt die Rück-Richtung zeigen kann:
[mm] \Leftarrow: [/mm] Sei [mm] a_0 [/mm] Einheit von R, dann...
Kann mir hier jemand helfen?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:41 Di 18.01.2011 | | Autor: | statler |
Hi!
> Leider habe ich keine Ahnung, wie ich jetzt die
> Rück-Richtung zeigen kann:
>
> [mm]\Leftarrow:[/mm] Sei [mm]a_0[/mm] Einheit von R, dann...
Zeigen kannst du das, indem du die inverse formale Potenzreihe ausrechnest. Also
1 : [mm] a_0 [/mm] + [mm] $a_{1}X$ [/mm] + [mm] a_2X^2 [/mm] + ... = ?
Der konstante Term ist ganz einfach, und dann kann man hoffentlich unter der Annahme, daß man bis zum n-ten Term gekommen ist, auch den (n+1)-ten bestimmen. So irgendwie könnte es gehen.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:55 Di 18.01.2011 | | Autor: | dennis2 |
Ah, okay! Die Idee ist es also zu zeigen, dass man das Inverse zu f (das sei hier als g angesetzt) von Beginn an schon kennt, wenn [mm] a_0 [/mm] eine Einheit in R ist.
Ich würde das nun so zeigen, indem ich eine rekursive Beschreibung finde:
Für die Koeffizienten von [mm] f*g [/mm] gilt ja (wie oben schon verwendet:) [mm] c_n=\summe_{i+j=n}a_ib_j.
[/mm]
Dass man [mm] b_0 [/mm] schon bestimmen kann, ist klar, denn da wählt man das Inverse zu [mm] a_0, [/mm] das ja nach Voraussetzung gegeben ist. Und nun seien [mm] b_0,b_1,...,b_{n-1} [/mm] schon passend bestimmt.
Dann gilt ja:
[mm] c_n=a_0b_n+\summe_{i+j=n,j
Und man kann rekursiv bestimmen:
[mm] b_n=-a_0^{-1}*\summe_{i+j=n,j
Das heißt ja aber nichts Anderes, als dass man per Induktion gezeigt hat, dass man schon alles weiß, um das Inverse zu konstruieren. Somit ist f Einheit in R[ [X] ].
Hoffentlich liege ich richtig!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:37 Mi 19.01.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Ah, okay! Die Idee ist es also zu zeigen, dass man das
> Inverse zu f (das sei hier als g angesetzt) von Beginn an
> schon kennt, wenn [mm]a_0[/mm] eine Einheit in R ist.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Ich würde das nun so zeigen, indem ich eine rekursive
> Beschreibung finde:
>
> Für die Koeffizienten von [mm]f*g[/mm] gilt ja (wie oben schon
> verwendet:) [mm]c_n=\summe_{i+j=n}a_ib_j.[/mm]
>
> Dass man [mm]b_0[/mm] schon bestimmen kann, ist klar, denn da wählt
> man das Inverse zu [mm]a_0,[/mm] das ja nach Voraussetzung gegeben
> ist. Und nun seien [mm]b_0,b_1,...,b_{n-1}[/mm] schon passend
> bestimmt.
>
> Dann gilt ja:
>
> [mm]c_n=a_0b_n+\summe_{i+j=n,j
... und [mm] $c_n [/mm] = 0$ (falls $n > 0$).
> Und man kann rekursiv bestimmen:
>
> [mm]b_n=-a_0^{-1}*\summe_{i+j=n,j
> Das heißt ja aber nichts Anderes, als dass man per
> Induktion gezeigt hat, dass man schon alles weiß, um das
> Inverse zu konstruieren. Somit ist f Einheit in R[ [X] ].
Genau.
LG Felix
|
|
|
|
