formale Potenzreihe, Inverse,* < Diskrete Mathematik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:36 Sa 13.04.2013 | | Autor: | quasimo |
| Aufgabe | Ein Bsp einer multiplikativen Inversen ist die geometrische Reihe,
G(z)= [mm] \frac{1}{1-z}= \sum_{j=0}^\infty z^j
[/mm]
DIes können wir verwenden um eine etwas greifbare Formel für die multiplikative Inverse anzugeben. Da (1-z) G(z)=1 , liegt es nahe, [mm] A(z)=A_0 [/mm] (1- a(z)) mit a(0)=0 zu schreiben. Durch SUbstitution ist dann A(z) [mm] G(a(z))=A_0(1-a(z))G(a(z))= A_0 [/mm] also
[mm] \frac{1}{A(z)}= \frac{G(a(z))}{A_0} [/mm] |
Hallo
Ich verstehe leider nur "Bahnhof". Es ist ein Teil meines Skriptums. Könnt ihr mir helfen den Abschnitt zu verstehen?
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:27 So 14.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo quasimo,
> Ein Bsp einer multiplikativen Inversen ist die geometrische
> Reihe,
> G(z)= [mm]\frac{1}{1-z}= \sum_{j=0}^\infty z^j[/mm]
naja, ich kenne eine andere mögliche Herleitung zur Berechnung der
Inversen einer Potenzreihe - diese findest Du auch selbst schnell mit
Googel... (Ansatz: Inverse einer Potenzreihe ist wieder eine Potenzreihe...)
Aber schauen wir mal:
> DIes können
> wir verwenden um eine etwas greifbare Formel für die
> multiplikative Inverse anzugeben. Da (1-z) G(z)=1 ,
Das ist trivial und folgt unmittelbar aus obigem (für $|z| < [mm] 1\,,$ [/mm] aber anscheinend
kümmert sich hier keiner dadrum - man rechnet nur formal...)...
> liegt
> es nahe, [mm]A(z)=A_0[/mm] (1- a(z)) mit a(0)=0 zu schreiben.
Das ist doch eigentlich das einzige, worüber man nachdenken muss, oder?
Ich sehe jetzt auch nicht, warum das naheliegend ist, es ist aber auch spät.
Jemand anderes sieht das zu so später Stunde oder auch morgen noch
"schnell"...
> Durch
> SUbstitution ist dann A(z) [mm]G(a(z))=A_0(1-a(z))G(a(z))= A_0[/mm]
Na, die erste Gleichheit ist doch auch trivial:
[mm] $$A(z)=A_0(1-a(z)) \;\;\Longrightarrow\;\; A(z)G(a(z))=A_0(1-a(z))\;G(a(z))$$
[/mm]
Die zweite Gleichheit bedarf der Bedingung [mm] $(1-a(z))\,G(a(z))=1\,.$ [/mm] Und ich
denke, dass das eigentlich das Grundgerüst des obigen Ansatzes ist. Aber
diese Gleichheit gilt ja insbesondere, da [mm] $(1-\tilde{z})*G(\tilde{z})=1$ [/mm] für alle [mm] $\red{\tilde{z} \in \IC}$ [/mm] mit [mm] $\red{|\tilde{z}| < 1}$ [/mm]
folgt - siehe oben: Geometrische Reihe - d.h., was hier allerdings fehlt: $|a(z)| < [mm] 1\,$ [/mm]
für alle [mm] $z\,$ [/mm] braucht man irgendwie! Aber da "schlampt" man halt mal ein
bisschen formal rum, sozusagen (was hier aber irgendwie eh ja schon von
Anfang an gemacht wurde, denn [mm] $\sum_{j=0}^\infty z^j=\frac{1}{1-z}$ [/mm] gilt GENAU für alle $|z| < [mm] 1\,$...)!
[/mm]
> also
> [mm]\frac{1}{A(z)}= \frac{G(a(z))}{A_0}[/mm]
> Hallo
> Ich verstehe leider nur "Bahnhof". Es ist ein Teil meines
> Skriptums. Könnt ihr mir helfen den Abschnitt zu
> verstehen?
Etwas klarer? Ich denke, wenigstens ein Teil der Überlegungen sollte so
klar(er) geworden sein. Wieso der obige Ansatz "naheliegend" ist, das will
mein Gehirn (mir) auch gerade nicht ver(b)raten...
Ich stelle mal auf teilweise beantwortet!
P.S. Viellleicht muss man das ganze umgekehrt aufbauen, dann kommt mein
Gehirn etwas besser damit klar:
Aus
[mm] $$(1-z)*G(z)=1\,$$
[/mm]
folgt, indem man [mm] $z\,$ [/mm] durch [mm] $a(z)\,$ [/mm] ersetzt (Substitution!)
[mm] $$(1-a(z))*G(a(z))=1\,.$$
[/mm]
Also ist
[mm] $$A_0*(1-a(z))*G(a(z))=A_0\,.$$
[/mm]
Mit dem Ansatz
[mm] $$A(z)=A_0*(1-a(z))$$
[/mm]
für eine Potenzreihe $A(z)$ (mit 'Bauart' [mm] $\blue{A(z)=A_0+\ldots}\,,$ [/mm] deswegen auch die Forderung
[mm] $a(0)=0\,$ [/mm] von oben!) folgt dann...
P.P.S. Ich glaube aber auch weniger, dass das hier wirklich "mathematisch
wichtig" ist - sondern ich denke eher, hier geht es ein wenig darum, eine
"Formel zu motivieren" bzw. wie man auf gewisse Ansätze für eine gewisse
Formel gekommen ist. Ob die "supersauber" sind, das muss ja nicht sein,
solange man "sucht", ist es ja okay, wenn man erstmal evtl. auch nur zu
Ergebnissen kommt, die in manchen Fällen nur greifen...
Denn oben ist's nun ja eigentlich interessant, die Funktion [mm] $a(z)\,$ [/mm] zu finden...
Edit: Vielleicht ergänzend: Ich habe gerade nochmal nachgelesen, dass
man sich bei formalen Potenzreihen eh nicht wirklich um Konvergenzfragen
kümmert - wenn ich das richtig verstanden habe. Es geht dann um
Operationen bzgl. "Summandenfolgen" oder sowas. Mir ist dieser Begriff
so im Studium halt nur mal kurz begegnet, wobei gesagt wurde, dass man
[mm] "$f(z)=\sum_{n=0}^\infty a_n(z-z_0)^n$ [/mm] (formale) Potenzreihe nennt, wobei
man "formal" dazusagt, wenn man Fragen bzgl. der Konvergenz der Reihe
außen vor läßt". So grob wiederholt... Das müßte ich jetzt auch nochmal
alles genau nachschlagen!
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Mo 15.04.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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