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| Aufgabe | Es sei f(x) eine reellwertige, periodische Funktion mit Fourier-Koeffizienten [mm] c_n [/mm] , [mm] n\in \IZ [/mm] , deren Fourier-Reihe gegen f(x) gleichmäßig konvergiert.
Berechne die Fourier-Koeffizienten der Funktion
[mm] F(x)=\bruch{1}{\pi} \integral_{-\pi}^{\pi}{f(t) f(x+t) dt} [/mm] |
ich bräuche ein paar tipps oder ansätze, wie ich diese aufgabe lösen kann...
ich hab schon probiert einfach die formeln von [mm] a_k [/mm] und [mm] b_k [/mm] zu nehmen und das da einzusetzen, aber ich kann f(t) ja schlecht ne stammfunktion bilden... höchstens F(t) .. aber das bringt mich auch nicht so richtig weiter?!
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Hallo christoph111,
> Es sei f(x) eine reellwertige, periodische Funktion mit
> Fourier-Koeffizienten [mm]c_n[/mm] , [mm]n\in \IZ[/mm] , deren Fourier-Reihe
> gegen f(x) gleichmäßig konvergiert.
> Berechne die Fourier-Koeffizienten der Funktion
> [mm]F(x)=\bruch{1}{\pi} \integral_{-\pi}^{\pi}{f(t) f(x+t) dt}[/mm]
>
> ich bräuche ein paar tipps oder ansätze, wie ich diese
> aufgabe lösen kann...
> ich hab schon probiert einfach die formeln von [mm]a_k[/mm] und [mm]b_k[/mm]
> zu nehmen und das da einzusetzen, aber ich kann f(t) ja
> schlecht ne stammfunktion bilden... höchstens F(t) .. aber
> das bringt mich auch nicht so richtig weiter?!
Versuche mal die Fourierreihe von f direkt in den Integranden einzusetzen.
Gruß
MathePower
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hm ok.. hab ich jetzt mal gemacht:
[mm] F(x)=\bruch{1}{\pi} \integral_{-\pi}^{\pi}{f(t) f(x+t) dt}
[/mm]
die fourier-reihe von f(t) ist :
[mm] \summe_{k=-\infty}^{\infty} c_ne^{ikt}
[/mm]
und die fourier reihe von f(x+t) ist dann :
[mm] \summe_{k=-\infty}^{\infty} c_ne^{ik(x+t)}
[/mm]
das eingesetzt erhalte ich:
[mm] F(x)=\bruch{1}{\pi} \integral_{-\pi}^{\pi}{ \summe_{k=-\infty}^{\infty} c_ne^{ikt}\summe_{k=-\infty}^{\infty} c_ne^{ik(x+t)} dt}
[/mm]
[mm] c_n [/mm] ist eine konstante, deshalb kann ich die aus summe und integral rausziehen:
[mm] F(x)=\bruch{c_n}{\pi} \integral_{-\pi}^{\pi}{ \summe_{k=-\infty}^{\infty} e^{ikt}\summe_{k=-\infty}^{\infty} e^{ikx}e^{ikt} dt}
[/mm]
allerdings stehe ich jetzt auch wieder auf dem schlauch.. ich hab schon versuch das integral auszurechnen, aber die summen machen mir dabei das leben ziemlich schwer :(
und ich verstehe auch noch nicht so richtig was mir das dann bringt..
das [mm] c_n [/mm] ist die fourierkoeffiziente von f(x) aber ich brauche ja die von F(x) oder ist das beidemale die gleiche??
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Hallo christoph111,
>hm ok.. hab ich jetzt mal gemacht:
>$ [mm] F(x)=\bruch{1}{\pi} \integral_{-\pi}^{\pi}{f(t) f(x+t) dt} [/mm] $
>die fourier-reihe von f(t) ist :
>$ [mm] \summe_{k=-\infty}^{\infty} c_ne^{ikt} [/mm] $
>und die fourier reihe von f(x+t) ist dann :
>$ [mm] \summe_{k=-\infty}^{\infty} c_ne^{ik(x+t)} [/mm] $
>das eingesetzt erhalte ich:
>$ [mm] F(x)=\bruch{1}{\pi} \integral_{-\pi}^{\pi}{ \summe_{k=-\infty}^{\infty} c_ne^{ikt}\summe_{k=-\infty}^{\infty} c_ne^{ik(x+t)} dt} [/mm] $
>$ [mm] c_n [/mm] $ ist eine konstante, deshalb kann ich die aus summe und integral >rausziehen:
>$ [mm] F(x)=\bruch{c_n}{\pi} \integral_{-\pi}^{\pi}{ \summe_{k=-\infty}^{\infty} >e^{ikt}\summe_{k=-\infty}^{\infty} e^{ikx}e^{ikt} dt} [/mm] $
Die Produktbildung der Summen erfolgt hier nach dem ![[]](/images/popup.gif) Cauchy-Produkt.
>allerdings stehe ich jetzt auch wieder auf dem schlauch.. ich hab schon versuch >das integral auszurechnen, aber die summen machen mir dabei das leben ziemlich >schwer :(
Nutze hier die gleichmäßige Konvergenz aus.
>und ich verstehe auch noch nicht so richtig was mir das dann bringt..
>das $ [mm] c_n [/mm] $ ist die fourierkoeffiziente von f(x) aber ich brauche ja die von >F(x) oder ist das beidemale die gleiche??
Gruß
MathePower
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schonmal vielen dank für die hilfe!
aber ich habe diese cauchy produktformel noch nie benutzt und bin mir deshalb nicht so sicher, ob ich da jetzt nicht was durcheinandergebracht habe. hab mich mal einfach an wikipedia gehalten:
[mm] a_{n}= \summe_{k=-\infty}^{\infty} e^{ikt}
[/mm]
[mm] b_{n}=\summe_{k=-\infty}^{\infty} e^{ik(x+t)}
[/mm]
dann ist [mm] c_{n}= \summe_{n=-k}^{k} e^{int}*e^{i(k-n)(x+t)}
[/mm]
= [mm] \summe_{n=-k}^{k} e^{int+i(k-n)(x+t)}
[/mm]
und da laut aufgabe die funktion gleichmäßig konvergiert, darf ich summe und integral vertauschen!
dann hab ich da jetzt stehen:
[mm] F(x)=\bruch{c_{n}}{\pi} \integral_{-\pi}^{\pi} \summe_{n=-k}^{k} e^{int+i(k-n)(x+t)}dt
[/mm]
[mm] =\bruch{c_{n}}{\pi} \summe_{n=-k}^{k} \integral_{-\pi}^{\pi} e^{int+i(k-n)(x+t)}dt
[/mm]
hab dann mal diesen unheimlichen exponenten ausgerechnet:
[mm] e^{int+i(k-n)(x+t)}
[/mm]
= [mm] e^{int+ikx+ikt-inx-int}
[/mm]
[mm] =e^{ikx+ikt-inx}
[/mm]
[mm] =e^{ikx-inx} [/mm] * [mm] e^{ikt}
[/mm]
das erste e kann ich aus dem integral rausziehen, weil es eine konstante ist, vom zweiten die stammfunktion ist:
[mm] \bruch{e^{ikt}}{ik}
[/mm]
sodass meine funktion F(x) jetzt so aussieht:
[mm] F(x)=\bruch{c_{n}}{\pi} \summe_{n=-k}^{k} e^{ikx-inx+ik\pi}-e^{ikx-inx-ik\pi}
[/mm]
das sieht alles ziemlich komisch aus.. hab ich mich da irgendwo vertan? oder bin ich doch auf dem richtigen weg?? nur wie komme ich dann auf meine koeffizienten? ich kann ja die summe schlecht ausrechnen..
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Hallo christoph111,
> schonmal vielen dank für die hilfe!
> aber ich habe diese cauchy produktformel noch nie benutzt
> und bin mir deshalb nicht so sicher, ob ich da jetzt nicht
> was durcheinandergebracht habe. hab mich mal einfach an
> wikipedia gehalten:
>
> [mm]a_{n}= \summe_{k=-\infty}^{\infty} e^{ikt}[/mm]
>
> [mm]b_{n}=\summe_{k=-\infty}^{\infty} e^{ik(x+t)}[/mm]
>
> dann ist [mm]c_{n}= \summe_{n=-k}^{k} e^{int}*e^{i(k-n)(x+t)}[/mm]
>
> = [mm]\summe_{n=-k}^{k} e^{int+i(k-n)(x+t)}[/mm]
>
> und da laut aufgabe die funktion gleichmäßig konvergiert,
> darf ich summe und integral vertauschen!
>
> dann hab ich da jetzt stehen:
>
> [mm]F(x)=\bruch{c_{n}}{\pi} \integral_{-\pi}^{\pi} \summe_{n=-k}^{k} e^{int+i(k-n)(x+t)}dt[/mm]
>
> [mm]=\bruch{c_{n}}{\pi} \summe_{n=-k}^{k} \integral_{-\pi}^{\pi} e^{int+i(k-n)(x+t)}dt[/mm]
>
> hab dann mal diesen unheimlichen exponenten ausgerechnet:
>
> [mm]e^{int+i(k-n)(x+t)}[/mm]
> = [mm]e^{int+ikx+ikt-inx-int}[/mm]
> [mm]=e^{ikx+ikt-inx}[/mm]
> [mm]=e^{ikx-inx}[/mm] * [mm]e^{ikt}[/mm]
> das erste e kann ich aus dem integral rausziehen, weil es
> eine konstante ist, vom zweiten die stammfunktion ist:
> [mm]\bruch{e^{ikt}}{ik}[/mm]
> sodass meine funktion F(x) jetzt so aussieht:
>
> [mm]F(x)=\bruch{c_{n}}{\pi} \summe_{n=-k}^{k} e^{ikx-inx+ik\pi}-e^{ikx-inx-ik\pi}[/mm]
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> das sieht alles ziemlich komisch aus.. hab ich mich da
> irgendwo vertan? oder bin ich doch auf dem richtigen weg??
> nur wie komme ich dann auf meine koeffizienten? ich kann
> ja die summe schlecht ausrechnen..
Nun, Du mußt folgendes ausrechnen:
[mm]f\left(x\right)*f\left(x+t\right)=\summe_{k=-\infty}^{\infty}c_{k}*e^{i*k*t} *\summe_{l=-\infty}^{\infty}c_{l}*e^{i*l*\left(x+t\right)}[/mm]
Du kannst Dir jetzt das Leben einfach machen:
[mm]f\left(x\right)*f\left(x+t\right)=\summe_{k=-\infty}^{\infty}\summe_{l=-\infty}^{\infty}c_{k}*c_{l}*e^{i* \left( \ k*t+l*\left(x+t\right) \ \right)}[/mm]
Oder eben Du setzt [mm]k+l=n \Rightarrow l=n-k[/mm]
Das ist der Trick der hinter dem Cauchy-Produkt steckt.
Gruß
MathePower
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