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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:34 Mo 30.06.2008 | | Autor: | AnnaM |
Hallo,
vielleicht ist es gerade einfach schon zu spät, oder ich habe ein Brett vorm Kopf, aber ich komme einfach nicht weiter.
Ich habe ein K-ALgebra A, wobei K ein kommutativer Körper ist. Wenn ich jetzt eine Menge X habe, die A als K-Vektorraum erzeugt und alle Elemente aus X linear unabhängig sind (also ist X eine Vektorraum-Basis von A), ist A dann frei über X?
Also ich komme soweit:
Sei S eine K-Algebra und f:X [mm] \to [/mm] S eine Funktion, dann lässt sich diese Funktion linear fortsetzen zu einer linearen Funktion f':A [mm] \to [/mm] S (A als Vektorraum betrachtet). Aber wie sehe ich jetzt, ob es auch einen Algebrenhomomorphismus von A nach S gibt?
Oder geht das gar nicht?
Schöne Grüße Anna.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:45 Mo 30.06.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo Anna
> vielleicht ist es gerade einfach schon zu spät, oder ich
> habe ein Brett vorm Kopf, aber ich komme einfach nicht
> weiter.
> Ich habe ein K-ALgebra A, wobei K ein kommutativer Körper
> ist. Wenn ich jetzt eine Menge X habe, die A als
> K-Vektorraum erzeugt und alle Elemente aus X linear
> unabhängig sind (also ist X eine Vektorraum-Basis von A),
> ist A dann frei über X?
>
> Also ich komme soweit:
> Sei S eine K-Algebra und f:X [mm]\to[/mm] S eine Funktion, dann
> lässt sich diese Funktion linear fortsetzen zu einer
> linearen Funktion f':A [mm]\to[/mm] S (A als Vektorraum betrachtet).
> Aber wie sehe ich jetzt, ob es auch einen
> Algebrenhomomorphismus von A nach S gibt?
> Oder geht das gar nicht?
Das geht gar nicht: wegen dem Basisaustauschsatz (fuer Vektorraeume) kannst du $X$ immer durch eine Menge $X'$ ersetzen, in der $1$ liegt. Und weil beides Vektorraumbasen sind und diese auf eine recht einfache Weise auseinander entstehen, ist $A$ genau dann frei ueber $X$, wenn es frei ueber $X'$ ist. Allerdings kann $A$ niemals frei ueber $X'$ sein, da die 1 immer auf die 1 abgebildet werden muss durch $K$-Algebra-Homomorphismen.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:54 Mo 30.06.2008 | | Autor: | AnnaM |
Ah gut (oder auch nicht).
Auf jeden Fall vielen Dank.
Liebe Grüße,
Anna.
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