freie gruppe < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:41 So 15.01.2006 | | Autor: | apple81 |
hallo
ich habe bei einer aufgabe ueber freien gruppen schwierigkeiten.
sei F eine freie gruppe vom rang [mm] n\ge2 [/mm] mit einer geordneten basis [mm] (z_{1},z_{2},...........z_{n}).wenn [/mm] x ein beliebiges element von F,d.h. x eindeutig dargestellt,wie [mm] a_{1}z_{1}+..........+a_{n}z_{n},wieter [/mm] muss [mm] beweisen:x=a_{1}z_{1}+..........+a_{n}z_{n} \not= [/mm] kann genau zu einer basis von F ergaenzt werden,wenn [mm] ggT(a_{1}..........a_{n})=1 [/mm] gilt.
kann jemand mir vielleicht Hinweis zeigen?danke
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Leider ist dein Text nicht ganz verständlich, weil er sprachlich und mathematisch verdorbene Stellen enthält. Zunächst einmal schreibst du "freie Gruppe", weiter unten aber benützt du dann die additive Schreibweise, die eigentlich nur bei abelschen Gruppen üblich ist. Meinst du "freie abelsche Gruppe"? Das ist nämlich ein großer Unterschied.
Falls du die freie abelsche Gruppe vom Rang [mm]n \neq 2[/mm] meinst, so ist das bis auf Isomorphie die direkte Summe von [mm]n[/mm] Kopien der additiven Gruppe [mm]\mathbb{Z}[/mm] der ganzen Zahlen:
[mm]F_n = \bigoplus_{k=1}^n~\mathbb{Z} = \left\{ \left( t_1 , t_2 , \ldots , t_n \right) \ \left| \ t_1 , t_2 , \ldots , t_n \in \mathbb{Z} \ \right. \right\}[/mm]
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