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Hallo liebe Forumfreunde,leider komme ich bei folgender Aufgabe nicht weiter,deshalb bitte ich euch um eure Hilfe:
Aufgabe:
[mm] 3x_{1}+2x_{2}+3x_{3}-3x__{4} [/mm] = 5
[mm] 2x_{2}+ x_{3}-2x_{4}- x_{5}= [/mm] 6
[mm] x_{4}+x_{5}=-7 [/mm]
(ich hab versucht der x-zahl entsprechend untereinander zu aufstellen,hat aber nicht funktioniert,sorry)
a)Bestimmen Sie die Lösung des LGS.Wählen Sie [mm] x_{2} [/mm] und [mm] x_{5} [/mm] als freie Variable.
b)Wären anstelle von [mm] x_{2} [/mm] und [mm] x_{5} [/mm] auch [mm] x_{4} [/mm] und [mm] x_{5} [/mm] gleichzeitig frei wählbar?
Bei beiden teilaufgaben fehlt mir der Ansatz. wie ist "freie Variable"zu verstehen?wie geht man an so eine Aufgabe ran?
Würd mich über jede Hilfe freuen.
Vielen Dank im Voraus.
VG,
danyal
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:33 Sa 12.11.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Hallo liebe Forumfreunde,leider komme ich bei folgender
> Aufgabe nicht weiter,deshalb bitte ich euch um eure Hilfe:
>
> Aufgabe:
>
> [mm]3x_{1}+2x_{2}+3x_{3}-3x__{4}[/mm] = 5
> [mm]2x_{2}+ x_{3}-2x_{4}- x_{5}=[/mm] 6
> [mm]x_{4}+x_{5}=-7[/mm]
>
> (ich hab versucht der x-zahl entsprechend untereinander zu
> aufstellen,hat aber nicht funktioniert,sorry)
>
> a)Bestimmen Sie die Lösung des LGS.Wählen Sie [mm]x_{2}[/mm] und
> [mm]x_{5}[/mm] als freie Variable.
>
Freier Parameter heisst, das die Lösung nachher von der Wahl dieser Parameter abhängig ist.
Setzen wir also [mm] x_{2}:=\lambda [/mm] und [mm] x_{5}=\mu
[/mm]
Dann wird aus:
[mm] \vmat{3x_{1}+2x_{2}+3x_{3}-3x_{4}=5\\2x_{2}+x_{3}-2x_{4}-x_{5}=6\\x_{4}+x_{5}=-7}
[/mm]
folgendes Gleichungssystem
[mm] \vmat{3x_{1}+2\lambda+3x_{3}-3x_{4}=5\\2\lambda+x_{3}-2x_{4}-\mu=6\\x_{4}+\mu=-7}
[/mm]
Dieses löse nun
[mm] \vmat{3x_{1}+3x_{3}-3x_{4}=5-2\lambda
\\x_{3}-2x_{4}=6-2\lambda+\mu\\x_{4}=-7-\mu}
[/mm]
In Gleichung 3 steht ja direkt [mm] x_{4}=-7-\mu
[/mm]
Aus Gleichung 2 folgt nun:
[mm] x_{3}-2(-7-\mu)=6-2\lambda+\mu
[/mm]
also
[mm] x_{3}=20-2\lambda-3\mu
[/mm]
Das in Gleichung 1 eingesetzt:
[mm] 3x_{1}+3(20-2\lambda-3\mu)-3(-7-\mu)=5-2\lambda
[/mm]
Daraus kannst du nun [mm] x_{1} [/mm] bestimmen.
>
> b)Wären anstelle von [mm]x_{2}[/mm] und [mm]x_{5}[/mm] auch [mm]x_{4}[/mm] und [mm]x_{5}[/mm]
> gleichzeitig frei wählbar?
Schau dir dazu mal Gleichung 3 des Startgleichungssystems an.
Dann solltest du das Prblem erkennen.
Marius
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vielen dank für die schnelle Hilfe.
> Hallo
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> > Hallo liebe Forumfreunde,leider komme ich bei folgender
> > Aufgabe nicht weiter,deshalb bitte ich euch um eure Hilfe:
> >
> > Aufgabe:
> >
> > [mm]3x_{1}+2x_{2}+3x_{3}-3x__{4}[/mm] = 5
> > [mm]2x_{2}+ x_{3}-2x_{4}- x_{5}=[/mm] 6
> > [mm]x_{4}+x_{5}=-7[/mm]
> >
> > (ich hab versucht der x-zahl entsprechend untereinander zu
> > aufstellen,hat aber nicht funktioniert,sorry)
> >
> > a)Bestimmen Sie die Lösung des LGS.Wählen Sie [mm]x_{2}[/mm] und
> > [mm]x_{5}[/mm] als freie Variable.
> >
>
> Freier Parameter heisst, das die Lösung nachher von der
> Wahl dieser Parameter abhängig ist.
>
> Setzen wir also [mm]x_{2}:=\lambda[/mm] und [mm]x_{5}=\mu[/mm]
>
> Dann wird aus:
>
> [mm]\vmat{3x_{1}+2x_{2}+3x_{3}-3x_{4}=5\\2x_{2}+x_{3}-2x_{4}-x_{5}=6\\x_{4}+x_{5}=-7}[/mm]
>
> folgendes Gleichungssystem
>
> [mm]\vmat{3x_{1}+2\lambda+3x_{3}-3x_{4}=5\\2\lambda+x_{3}-2x_{4}-\mu=6\\x_{4}+\mu=-7}[/mm]
>
> Dieses löse nun
> [mm]\vmat{3x_{1}+3x_{3}-3x_{4}=5-2\lambda
\\x_{3}-2x_{4}=6-2\lambda+\mu\\x_{4}=-7-\mu}[/mm]
>
> In Gleichung 3 steht ja direkt [mm]x_{4}=-7-\mu[/mm]
> Aus Gleichung 2 folgt nun:
>
> [mm]x_{3}-2(-7-\mu)=6-2\lambda+\mu[/mm]
> also
> [mm]x_{3}=20-2\lambda-3\mu[/mm]
musste hier nicht für [mm] x_{3}=-8-2\lambda -7\mu [/mm] rauskommen?
> > b)Wären anstelle von [mm]x_{2}[/mm] und [mm]x_{5}[/mm] auch [mm]x_{4}[/mm] und [mm]x_{5}[/mm]
> > gleichzeitig frei wählbar?
>
> Schau dir dazu mal Gleichung 3 des Startgleichungssystems
> an.
> Dann solltest du das Prblem erkennen.
Antwort:NEIN
Grund: Ist es weil sie alleine in einer Gleichung stehen und somit voneinander abhängig sind?
>
> Marius
>
vielen dank im Voraus.
VG,danyal
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:07 Sa 12.11.2011 | | Autor: | M.Rex |
> vielen dank für die schnelle Hilfe.
>
> > Hallo
> >
> >
> > > Hallo liebe Forumfreunde,leider komme ich bei folgender
> > > Aufgabe nicht weiter,deshalb bitte ich euch um eure Hilfe:
> > >
> > > Aufgabe:
> > >
> > > [mm]3x_{1}+2x_{2}+3x_{3}-3x__{4}[/mm] = 5
> > > [mm]2x_{2}+ x_{3}-2x_{4}- x_{5}=[/mm] 6
> > > [mm]x_{4}+x_{5}=-7[/mm]
> > >
> > > (ich hab versucht der x-zahl entsprechend untereinander zu
> > > aufstellen,hat aber nicht funktioniert,sorry)
> > >
> > > a)Bestimmen Sie die Lösung des LGS.Wählen Sie [mm]x_{2}[/mm] und
> > > [mm]x_{5}[/mm] als freie Variable.
> > >
> >
> > Freier Parameter heisst, das die Lösung nachher von der
> > Wahl dieser Parameter abhängig ist.
> >
> > Setzen wir also [mm]x_{2}:=\lambda[/mm] und [mm]x_{5}=\mu[/mm]
> >
> > Dann wird aus:
> >
> >
> [mm]\vmat{3x_{1}+2x_{2}+3x_{3}-3x_{4}=5\\
2x_{2}+x_{3}-2x_{4}-x_{5}=6\\
x_{4}+x_{5}=-7}[/mm]
> >
> > folgendes Gleichungssystem
> >
> >
> [mm]\vmat{3x_{1}+2\lambda+3x_{3}-3x_{4}=5\\
2\lambda+x_{3}-2x_{4}-\mu=6\\
x_{4}+\mu=-7}[/mm]
> >
> > Dieses löse nun
> > [mm]\vmat{3x_{1}+3x_{3}-3x_{4}=5-2\lambda \\
x_{3}-2x_{4}=6-2\lambda+\mu\\
x_{4}=-7-\mu}[/mm]
> >
> > In Gleichung 3 steht ja direkt [mm]x_{4}=-7-\mu[/mm]
> > Aus Gleichung 2 folgt nun:
> >
> > [mm]x_{3}-2(-7-\mu)=6-2\lambda+\mu[/mm]
> > also
> > [mm]x_{3}=20-2\lambda-3\mu[/mm]
> musste hier nicht für [mm]x_{3}=-8-2\lambda -7\mu[/mm]
> rauskommen?
>
>
Weder noch, sorry
[mm] $x_{3}-2(-7-\mu)=6-2\lambda+\mu$
[/mm]
[mm] $\Leftrightarrow x_{3}+14+2\mu=6-2\lambda+\mu$
[/mm]
[mm] $\Leftrightarrow x_{3}=-8-2\lambda-\mu$
[/mm]
>
> > > b)Wären anstelle von [mm]x_{2}[/mm] und [mm]x_{5}[/mm] auch [mm]x_{4}[/mm] und [mm]x_{5}[/mm]
> > > gleichzeitig frei wählbar?
> >
> > Schau dir dazu mal Gleichung 3 des Startgleichungssystems
> > an.
> > Dann solltest du das Prblem erkennen.
> Antwort:NEIN
> Grund: Ist es weil sie alleine in einer Gleichung stehen
> und somit voneinander abhängig sind?
Genau das. Damit bekäme ich eine Gleichung ohne Variablen [mm] x_{i}. [/mm]
Marius
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