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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:35 Mi 29.06.2005 | | Autor: | annaL |
wenn ich zeigen soll dass eine funktion beschränkt ist, wie gehe ich dann vor?
Ich habe mir bisher definiert was beschränkt heißt. eine funktion ist beschränkt, wenn sie nach oben und nach unten beschränkt ist.
ich habe nun in meinem buch folgende aufgabe :
x [mm] \varepsilon [/mm] R, [mm] \bruch{x}{x^{4} + 4}
[/mm]
Es ist ja auffällig dass der Nenner immer positiv ist. Desweiteren habe ich mir nun eine wertetabelle angelegt. Dorst sehe ich dass die Werte bei den negativen x werten gleich den Werten der positiven x werte sind, bloß ist das vorzeichen immer anders. bei 0 erhalte ich als wert o.
Aber wie gehe ich weiter vor??
DANKE!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:41 Mi 29.06.2005 | | Autor: | Quintana |
Was passiert denn, wenn du für x sehr große negative und positive Werte einsetzt?
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Hallo Anna!
Du hast ja nun verbal beschrieben, daß Deine Funktion symmetrisch zum Ursprung verläuft. Dies kann man auch rechnerisch zeigen durch: $f(-x) \ = \ -f(x)$.
Aber das benötigen wir hier nicht zwingend ...
Für Deine Schranken mußt Du folgende zwei Schritte durchführen:
[1.] Eine Extremwertberechnung für die relativen Extrema. Die zugehörigen Funktionswerte sind dann mögliche Schranken.
[2.] Um diese möglichen Schranken zu bestätigen, mußt Du nun noch eine Betrachtung durchführen für $x [mm] \rightarrow \pm \infty$ [/mm] . Sprich: gibt es größere Funktionswerte als die oben errechneten?
Was erhältst Du nun?
Gruß vom
Roadrunner
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anna hat ja bereits eine Wertetabelle aufgestellt. da sie alle reellen zahlen einsetzen kann, ist es aber doch schwer die Schranken zu finden??
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Hallo rotespinne,
f: [mm] \IR \to \IR, [/mm] f(x) = [mm] \bruch{x}{x^4+4}. [/mm] Ist f beschränkt?
Geht das ohne Extremalstellen zu berechnen?
Antwort: Unter gewissen Veraususetzungen JA, denn i.A. hat man nicht differenzierbare Funktionen, und man keine Ableitung bilden und Extremstellen berechnen ...
Hier: f ist stetig auf [mm] \IR. [/mm] Betrachten wir f: [mm] [0,\delta] \to \IR, \delta \in \IR, \delta [/mm] > 0. Dann ist f stetig auf dem kompakten Intervall [mm] [0,\delta], [/mm] also nimmt ihr Minimum und Maximum an. Betrachten wir die Randpunkte, weil sie ja mögliche Extremstellen sind:
f(0) = 0,
[mm] f(\delta) [/mm] = [mm] \bruch{\delta}{\delta^4+4} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\delta^3+\bruch{4}{\delta}} [/mm] > 0 (Weshalb?).
Nun lassen wir [mm] \delta \to \infty [/mm] gehen: [mm] \limes_{\delta\rightarrow\infty}f(\delta) [/mm] = [mm] \limes_{\delta\rightarrow\infty}\bruch{1}{\delta^3+\bruch{4}{\delta}} \to [/mm] 0.
Also hat f auf [mm] [0,\infty[ [/mm] ein Maximum in [mm] x_{max} \in ]0,\infty[ [/mm] und [mm] 0
f(-x) = -f(x), also nimmt f auf [mm] ]-\infty,0] [/mm] ihr Minimum an in [mm] x_{min} \in ]-\infty,0[ [/mm] und [mm] -\infty
Damit ist f beschränkt zwischen [mm] f(x_{min}) [/mm] und [mm] f(x_{max}).
[/mm]
gruss,
logarithmus
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