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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:49 Sa 22.04.2006 | | Autor: | Janyary |
| Aufgabe | Gegeben seien die Funktionenfolgen [mm] (f_{n}), (g_{n}) [/mm] mit Funktionen [mm] f_{n}, g_{n}: \IR \to \IR,
[/mm]
[mm] f_{n}:=x+\bruch{1}{n(1+x^{2})}, [/mm]
[mm] g_{n}:=\bruch{1}{1+x^{2}}+\bruch{1}{n} [/mm]
[mm] (x\in \IR, n\in \IN \backslash \{0 \})
[/mm]
Untersuchen Sie [mm] (f_{n}), (g_{n}) [/mm] und [mm] (f_{n}*g_{n}) [/mm] auf punktweise und gleichmaessige Konvergenz. |
Ich habe die Frage in keinen anderen Internetforen gestellt.
hallo ihr lieben,
also ich weiss an sich ueberhaupt nicht so richtig wie ich an die aufgabe rangehen soll.
zur punktweisen konvergenz. in der vorlesung hatten wir, dass [mm] f_{n}\to [/mm] f punktweise konvergiert [mm] \gdw \limes_{n\rightarrow\infty}f_{n}(x)=f(x), [/mm] wobei f(x) die grenzfunktion ist.
fuer [mm] n\rightarrow\infty [/mm] ist [mm] f_{n}(x)\rightarrow [/mm] x. das heisst meine grenzfunktion ist f(x)=x. ist das korrekt?
und fuer [mm] n\rightarrow\infty [/mm] ist [mm] g_{n}(x)\rightarrow \bruch{1}{1+x^{2}}. [/mm] also [mm] g(x)=\bruch{1}{1+x^{2}} [/mm]
Falls das bisher stimmt, wie bekomme ich nun raus, wie das mit der konvergenz ist. Wir hatten zwar eine epsilon-def. aber so richtig weiss ich nicht, wie ich die anwenden soll.. waer wirklich toll, wenn jemand ein paar tipps fuer mich haette.
LG Jany :)
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> Gegeben seien die Funktionenfolgen [mm](f_{n}), (g_{n})[/mm] mit
> Funktionen [mm]f_{n}, g_{n}: \IR \to \IR,[/mm]
>
> [mm]f_{n}:=x+\bruch{1}{n(1+x^{2})},[/mm]
> [mm]g_{n}:=\bruch{1}{1+x^{2}}+\bruch{1}{n}[/mm]
> [mm](x\in \IR, n\in \IN \backslash \{0 \})[/mm]
>
> Untersuchen Sie [mm](f_{n}), (g_{n})[/mm] und [mm](f_{n}*g_{n})[/mm] auf
> punktweise und gleichmaessige Konvergenz.
> Ich habe die Frage in keinen anderen Internetforen
> gestellt.
>
> hallo ihr lieben,
>
> also ich weiss an sich ueberhaupt nicht so richtig wie ich
> an die aufgabe rangehen soll.
> zur punktweisen konvergenz. in der vorlesung hatten wir,
> dass [mm]f_{n}\to[/mm] f punktweise konvergiert [mm]\gdw \limes_{n\rightarrow\infty}f_{n}(x)=f(x),[/mm]
> wobei f(x) die grenzfunktion ist.
> fuer [mm]n\rightarrow\infty[/mm] ist [mm]f_{n}(x)\rightarrow[/mm] x. das
> heisst meine grenzfunktion ist f(x)=x. ist das korrekt?
>
> und fuer [mm]n\rightarrow\infty[/mm] ist [mm]g_{n}(x)\rightarrow \bruch{1}{1+x^{2}}.[/mm]
> also [mm]g(x)=\bruch{1}{1+x^{2}}[/mm]
>
> Falls das bisher stimmt, wie bekomme ich nun raus, wie das
> mit der konvergenz ist. Wir hatten zwar eine epsilon-def.
> aber so richtig weiss ich nicht, wie ich die anwenden
> soll.. waer wirklich toll, wenn jemand ein paar tipps fuer
> mich haette.
>
> LG Jany :)
Hallo Jany!
Erstens einmal: Die Grenzfunktionen stimmen.
Kleine Anmerkung am Rande: Würdest du eine Grenzfunktion erhalten, die NICHT STETIG ist, dann kann die Funktionenfolge NICHT GLEICHMÄßIG konvergieren. (Da gilt: Wenn die [mm] f_n [/mm] von einer Funktionenfolge stetig sind und gleichmäßig konvergieren dann ist der Grenzwert f stetig.)
Aber in diesem Fall sind sie ja offensichtlich stetig. Da kommst du wahrscheinlich nicht um eine Abschätzung herum.
Und diese muss so aussehen:
[mm]
|f_{n}(x)-f(x)|<...<\varepsilon
[/mm]
Hierbei ist das einzige was du tun musst folgendes (kann oft sehr unangenehm werden):
Schätze die Differenz so lange ab, bis du einen Ausdruck hast, der nicht mehr von x abhängt! Dieser Ausdruck muss für n -> unendlich noch gegen 0 gehen (wegen < Epsilon). Dann hast du die gleichmäßige konvergenz!
In Worten könnte man es so formulieren.
Das Epsilon muss von dem x unabhängig gewählt werden können (und damit auch das n für das die Ungleichung gilt)
Anschaulich:
Die [mm] f_n [/mm] liegen alle ab einem hinreichend großen n in einem "Epsilon-schlauch" um die Grenzfunktion. Ich hoffe du kannst dir darunter was vorstellen. =)
Also ein Beispiel
[mm]f_{n}(x)=x+\bruch{1}{n(1+x^{2})},[/mm];
[mm]f(x)=x[/mm]
[mm] |f_{n}(x)-f(x)|=|x+\bruch{1}{n(1+x^{2})}-x|=|\bruch{1}{n(1+x^{2})}| \leq \bruch{1}{n} < \varepsilon[/mm]
beachte dabei dass [mm]\bruch{1}{(1+x^{2})}\leq 1 [/mm]
Ich habe diese Differenz so abschätzen können, dass ich einen von x unabhängigen Ausdruck erhalte der für wachsendes n gegen 0 geht und von x unabhängig ist. => die [mm] f_n [/mm] konvergieren gleichmäßig
mfg
Michael
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 12:43 Sa 22.04.2006 | | Autor: | Janyary |
hallo michael,
vielen dank fuer deine schnelle antwort. unter deiner beschreibung kann ich mir sehr gut etwas vorstellen. du hast ja im grunde mit der gleichmaessigen konvergenz angefangen und meintest ich muss das ganze solange abschaetzen, bis ich einen ausdruck erhalte, der nicht mehr von x abhaengt. dann ist das ganze gleichmaessig konvergent. von gleichmaessiger konvergenz laesst sich ja auf punktweise konvergenz schliessen. umgekehrt jedoch nicht. ist es dann so, dass wenn es mir nicht gelingt meine differenz so abzuschaetzen, dass sie unabhaengig von x ist, dass meine funktionenfolge dann nur punktweise konvergent ist?
hab das anhand deines bsp. mal an der [mm] g_{n}(x) [/mm] versucht.
[mm] |g_{n}(x)-g(x)|=|\bruch{1}{1+x^{2}}+\bruch{1}{n}-\bruch{1}{1+x^{2}}|=|\bruch{1}{n}|=\bruch{1}{n}<\varepsilon
[/mm]
das heisst also, sowohl [mm] f_{n}(x) [/mm] als auch [mm] g_{n}(x) [/mm] sind gleichmaessig konvergent und dadurch auch punktweise konvergent.
ok jetzt betrachte ich [mm] (f_{n}*g_{n})
[/mm]
dabei multipliziere ich [mm] f_{n} [/mm] mit [mm] g_{n}, [/mm] lasse n dann gegen unendlich laufen und bekomme dadurch die grenzfunktion.
so ich hoffe, ich hab mich dabei nicht verechnet..
[mm] f_{n}(x)*g_{n}(x)=(\bruch{xn+x^{3}n+1}{n(1+x^{2})})*(\bruch{x^{2}+n+1}{n(1+x^{2})})
[/mm]
[mm] =\bruch{x^{5}n+2x^{3}n+x^{3}n^{2}+xn^{2}+xn+x^{2}+n+1}{n^{2}(1+x^{2})^{2}}
[/mm]
fuer [mm] n\rightarrow\infty [/mm] erhalte ich:
[mm] \bruch{x^{3}+x}{(1+x^{2})^{2}}=\bruch{x}{x^{2}+1}=f(x)*g(x) [/mm] als meine grenzfunktion.
nun muss ich wieder das epsilon-kriterium anwenden...
[mm] |f_{n}(x)*g_{n}(x)-f(x)*g(x)|=|\bruch{x^{5}n+2x^{3}n+x^{3}n^{2}+xn^{2}+xn+x^{2}+n+1}{n^{2}(1+x^{2})^{2}}-\bruch{x^{3}+x}{(1+x^{2})^{2}}|=|\bruch{x^{5}n+2x^{3}n+xn+x^{2}+n+1}{n^{2}(1+x^{2})^{2}}|
[/mm]
[mm] =|\bruch{x^{5}+2x^{3}+x+1}{n(1+x^{2})^{2}}+\bruch{1+x^{2}}{n^{2}(1+x^{2})^{2}}|<\varepsilon
[/mm]
ok, nun versuch ich wieder abzuschaetzen..
rechte teil: [mm] \bruch{x^{2}+1}{n^{2}(1+x^{2})^{2}}=\bruch{1}{n^{2}(1+x^{2})} \le\bruch{1}{n^{2}}
[/mm]
linke teil (ohne [mm] \bruch{1}{n}):
[/mm]
[mm] \bruch{x^{5}+2x^{3}+x+1}{x^{2}+1)^{2}}=\bruch{(x^{2}+1)^{2}*x+1}{x^{2}+1)^{2}}=\bruch{(x^{2}+1)^{2}*x}{(x^{2}+1)^{2}}+\bruch{1}{(x^{2}+1)^{2}} \le [/mm] x+1
ok das heisst fuer meinen gesamten term:
[mm] |\bruch{x^{5}+2x^{3}+x+1}{n(1+x^{2})^{2}}+\bruch{1+x^{2}}{n^{2}(1+x^{2})^{2}}|\le |\bruch{1}{n}*(x+1)+\bruch{1}{n^{2}}|
[/mm]
[mm] =|\bruch{n(x+1)+1}{n^{2}}|<\varepsilon
[/mm]
ich weiss, das waere viel zum nachrechnen, aber ist das soweit ok?
nun kann ich das im grunde nicht weiter abschaetzen, finde also kein von x unabhaengiges epsilon. demzufolge ist das schon mal nicht gleichmaessig konvergent.
kann ich nun einfach sagen, dass [mm] (f_{n}*g_{n}) [/mm] ist punktweise konvergent oder muss ich das nun noch extra zeigen??
LG Jany :)
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Hallo Leute!
Kann mir jemand sagen ob das richtig ist was hier geschrieben wurde? Ich würde es gerne nachvollziehen.
> hallo michael,
> vielen dank fuer deine schnelle antwort. unter deiner
> beschreibung kann ich mir sehr gut etwas vorstellen. du
> hast ja im grunde mit der gleichmaessigen konvergenz
> angefangen und meintest ich muss das ganze solange
> abschaetzen, bis ich einen ausdruck erhalte, der nicht mehr
> von x abhaengt. dann ist das ganze gleichmaessig
> konvergent. von gleichmaessiger konvergenz laesst sich ja
> auf punktweise konvergenz schliessen. umgekehrt jedoch
> nicht. ist es dann so, dass wenn es mir nicht gelingt meine
> differenz so abzuschaetzen, dass sie unabhaengig von x ist,
> dass meine funktionenfolge dann nur punktweise konvergent
> ist?
>
> hab das anhand deines bsp. mal an der [mm]g_{n}(x)[/mm] versucht.
>
> [mm]|g_{n}(x)-g(x)|=|\bruch{1}{1+x^{2}}+\bruch{1}{n}-\bruch{1}{1+x^{2}}|=|\bruch{1}{n}|=\bruch{1}{n}<\varepsilon[/mm]
>
> das heisst also, sowohl [mm]f_{n}(x)[/mm] als auch [mm]g_{n}(x)[/mm] sind
> gleichmaessig konvergent und dadurch auch punktweise
> konvergent.
Danke, Esperanza
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:42 Mo 12.03.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ja, alles ist richtig, denn du kannst UNABHAENGIG von x zu jedem [mm] \varepsilon>0 [/mm] ein N angeben.... naemlich [mm] N=1/\varepsilon.
[/mm]
Gruss leduart
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