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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:47 So 13.01.2008 | | Autor: | mini111 |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
Hallo ihr Lieben!!!
ich habe folgende frage:warum konvergiert diese funktionsfolge gleichmäßig:
[mm] X=[-0,5;0,5]f(index)n(x):=\summe_{k=0}^{n} x^k
[/mm]
aber die gleiche nur mit einem anderen definitionsbereich:
X=]-1,1[ konvergiert nicht gleichmäßig.ich erkenne nicht den entscheidenen unterschied.ich hoffe ihr könnt mir helfen,danke schonmal im voraus!
mfg
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt
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> Hallo ihr Lieben!!!
> ich habe folgende frage:warum konvergiert diese
> funktionsfolge gleichmäßig:
> [mm]X=[-0,5;0,5]f(index)n(x):=\summe_{k=0}^{n} x^k[/mm]
> aber die
> gleiche nur mit einem anderen definitionsbereich:
> X=]-1,1[ konvergiert nicht gleichmäßig.ich erkenne nicht
> den entscheidenen unterschied.ich hoffe ihr könnt mir
> helfen,danke schonmal im voraus!
Je näher Du mit $x$ gegen den Rand von $]-1,1[$ kommst, desto langsamer konvergiert die geometrische Reihe [mm] $\sum_{k=0}^\infty x^k$. [/mm] Daher kannst Du in diesem Fall zu vorgegebenem [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] kein von $x$ unabhängiges [mm] $n_0$ [/mm] finden, derart dass die Abweichung der Partialsummen [mm] $\sum_{k=0}^{n_0}$ [/mm] vom Grenzwert [mm] $\frac{1}{1-x}$ [/mm] kleiner als [mm] $\varepsilon$ [/mm] ist.
Aber Du kannst natürlich für jedes festgehaltene [mm] $x\in]-1;+1[$ [/mm] ein solches [mm] $n_0$ [/mm] finden: dies wäre dann aber nur punktweise (nicht gleichmässige) Konvergenz.
Weshalb kannst Du bei Einschränkung auf $X=[-0.5;+0.5]$ ein [mm] $n_0$ [/mm] unabhängig von [mm] $x\in [/mm] X$ finden? - Weil das Konvergenzverhalten am Rand am schlechtesten ist. Anders herum betrachtet: in diesem Falle ist ja [mm] $|x^k|\leq 0.5^k$. [/mm] Und damit kann man so abschätzen:
[mm]\left|\frac{1}{1-x}-\sum_{k=0}^{n_0} x^k\right|=\left|\sum_{k=n_0}^\infty x^k\right|\leq \sum_{k=n_0}^\infty 0.5^k=\frac{1}{1-0.5}-\frac{1-0.5^{n_0+1}}{1-0.5}[/mm]
Nun muss man einfach [mm] $n_0$ [/mm] so wählen, dass die Ungleichung
[mm]\frac{1}{1-0.5}-\frac{1-0.5^{n_0+1}}{1-0.5} <\varepsilon[/mm]
erfüllt ist: dann hat man sein von [mm] $x\in [/mm] [-0.5;+0.5]$ unabhängiges [mm] $n_0$ [/mm] bestimmt...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:19 Mo 14.01.2008 | | Autor: | mini111 |
hallo!!!
danke für deine antwort!!so richtig verstanden habe ich es noch nicht aber es hat mich schon weiter gebracht.was meinst du [mm] mit:\bruch{1}{1-0.5}-\bruch{1-0.5^(n+1)}{1-0.5}<\varepsilon
[/mm]
mfg
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> hallo!!!
> danke für deine antwort!!so richtig verstanden habe ich es
> noch nicht aber es hat mich schon weiter gebracht.was
> meinst du mit:
> [mm]\bruch{1}{1-0.5}-\bruch{1-0.5^{n+1}}{1-0.5}<\varepsilon[/mm]
> mfg
Diese Frage gibt mir Gelegenheit, diese Abschätzung noch auf offensichtliche Weise zu vereinfachen. Es ist ja
[mm]\frac{1}{1-0.5}-\frac{1-0.5^{n+1}}{1-0.5}=\frac{0.5^{n+1}}{1-0.5}=0.5^n[/mm]
Nun zurück zu Deiner Frage: ich kann Deine Frage nach der Bedeutung (dem was ich "damit meine") nur beantworten, indem ich mich der Mühe unterziehe, den Kontext nochmals aufzuwärmen.
Es ist ja so: Du willst gleichmässige Konvergenz der Reihe [mm] $\sum_{k=0}^\infty x^k$ [/mm] auf $X:= [-0.5;+0.5]$ beweisen. Eine solche Reihe nennen wir gleichmässig konvergent gegen deren (für alle $x$ mit $|x|<1$ existierenden) punktweisen Limes $f(x):= [mm] \sum_{k=0}^\infty x^k=\frac{1}{1-x}$, [/mm] wenn die Partialsummenfolge [mm] $f_n(x) [/mm] := [mm] \sum_{k=0}^n x^k$ [/mm] auf $X$ gleichmässig gegen $f(x)$ konvergiert.
Dies bedeuet: für ein beliebig klein vorgegebenes [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] müssen wir ein [mm] $n_0$ [/mm] finden können, so dass für alle [mm] $n\geq n_0$ [/mm] der Betrag der Abweichung von der Grenzfunktion [mm] $|f(x)-f_n(x)|$ [/mm] für alle [mm] $x\in [/mm] X$ kleiner als [mm] $\varepsilon$ [/mm] ist.
Die Frage ist nun, wie wir ein solches [mm] $n_0$ [/mm] bestimmen können. Zu diesem Zweck können wir benutzen, dass für alle [mm] $x\in [/mm] X$ gilt, dass [mm] $|x^k|\leq 0.5^k$ [/mm] ist. Deshalb gilt für alle [mm] $n\geq n_0$
[/mm]
[mm]|f(x)-f_n(x)|=\left|\sum_{k=0}^\infty x^k -\sum_{k=0}^n x^k\right|=\left|\sum_{k=n+1}^\infty\right|\leq \sum_{k=n+1}^\infty|x^k|\leq \sum_{k=n_0}^\infty 0.5^k = \frac{1}{1-0.5}-\frac{1-0.5^{n_0+1}}{1-0.5} = 0.5^{n_0}[/mm]
Wobei hier beim Übergang von links nach rechts beim zweitletzten Gleichheitszeichen die bekannte Summenformel für die (unendliche bzw. endliche) geometrische Reihe verwendet wurde.
Das heisst, nach dieser langatmigen Erklärung nun kurzgefasst: [mm] $|f(x)-f_n(x)|\leq 0.5^{n_0}$, [/mm] für alle [mm] $n\geq n_0$.
[/mm]
Um zu erzwingen, dass für alle [mm] $n\geq n_0$ [/mm] gilt [mm] $|f(x)-f_n(x)|<\varepsilon$, [/mm] genügt es deshalb, [mm] $n_0$ [/mm] so gross zu wählen, dass die Ungleichung [mm] $0.5^{n_0}<\varepsilon$, [/mm] d.h. [mm] $n_0>\frac{\ln(\varepsilon)}{\ln(0.5)}$ [/mm] gilt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:11 Di 15.01.2008 | | Autor: | mini111 |
hallo nochmal!!!
vielen dank für die umfangreiche hilfe!!!ich habe es jetzt,sehr gut verstanden!kein wunder bei einer so guten erklärung!!!
lieben gruß
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