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Abend :)
Ich muss aus den folgenden Angaben die dazugehörige Funktionsgleichung suchen:
Der Graph einer quadratischen Funktion f geht durch die Punkte A(0|0) und B (4|0). Er schließt mit der x-Achse eine Fläche A mit dem Inhalt [mm] \bruch{8}{3} [/mm] ein. Sein Extremum liegt im ersten Quadranten.
Mein Lösungsansatz:
1) quadratische fUnktion: f(x)= [mm] ax^{2} [/mm] + bx+c
2) Nullstellen: (0|0) und (4|0)
3) [mm] \bruch{8}{3} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{4}{ax^{2}+bx+c dx} [/mm] =
[mm] [\bruch{a}{3}x^{3}+ \bruch{b}{2}x^{2}+cx] [/mm] in den grenzen 0 bis 4.
... -> [mm] \bruch{8}{3} [/mm] = [mm] \bruch{64a}{3}+ [/mm] 8b+ 4c
..ich hab aber immer noch keine Variable herausgefunden..
wie muss ich nun weiter machen ´, so dass ich auf die Funktionsgleichung komme?
Gruß,,
Muellermilch
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:11 Mi 16.03.2011 | | Autor: | abakus |
> Abend :)
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> Ich muss aus den folgenden Angaben die dazugehörige
> Funktionsgleichung suchen:
>
> Der Graph einer quadratischen Funktion f geht durch die
> Punkte A(0|0) und B (4|0). Er schließt mit der x-Achse
> eine Fläche A mit dem Inhalt [mm]\bruch{8}{3}[/mm] ein. Sein
> Extremum liegt im ersten Quadranten.
Heißt:
Nullstellen 0 und 4, Scheitelpunkt OBERHALB der x-Achse.
Diese Nullstellen hat die Funktion [mm] f_1(x)=x(x-4) [/mm] und somit auch jede Funktion [mm] f(x)=a*x*(x-4)=a(x^2-4x).
[/mm]
Da wegen des oben liegenden Scheitelpunkte die Funktion nach unten geöffent ist, gilt a<0.
Jetzt kannst du die Stammfunktion F(x) bilden, das Integral von 0 bis 4 allgemein berechnen und dann a so wählen, dass der Flächeninhalt stimmt.
Gruß Abakus
>
> Mein Lösungsansatz:
>
> 1) quadratische fUnktion: f(x)= [mm]ax^{2}[/mm] + bx+c
>
> 2) Nullstellen: (0|0) und (4|0)
>
> 3) [mm]\bruch{8}{3}[/mm] = [mm]\integral_{0}^{4}{ax^{2}+bx+c dx}[/mm] =
> [mm][\bruch{a}{3}x^{3}+ \bruch{b}{2}x^{2}+cx][/mm] in den grenzen 0
> bis 4.
> ... -> [mm]\bruch{8}{3}[/mm] = [mm]\bruch{64a}{3}+[/mm] 8b+ 4c
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> ..ich hab aber immer noch keine Variable herausgefunden..
> wie muss ich nun weiter machen ´, so dass ich auf die
> Funktionsgleichung komme?
>
> Gruß,,
> Muellermilch
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> > Abend :)
> >
> > Ich muss aus den folgenden Angaben die dazugehörige
> > Funktionsgleichung suchen:
> >
> > Der Graph einer quadratischen Funktion f geht durch die
> > Punkte A(0|0) und B (4|0). Er schließt mit der x-Achse
> > eine Fläche A mit dem Inhalt [mm]\bruch{8}{3}[/mm] ein. Sein
> > Extremum liegt im ersten Quadranten.
> Heißt:
> Nullstellen 0 und 4, Scheitelpunkt OBERHALB der x-Achse.
> Diese Nullstellen hat die Funktion [mm]f_1(x)=x(x-4)[/mm] und somit
> auch jede Funktion [mm]f(x)=a*x*(x-4)=a(x^2-4x).[/mm]
> Da wegen des oben liegenden Scheitelpunkte die Funktion
> nach unten geöffent ist, gilt a<0.
> Jetzt kannst du die Stammfunktion F(x) bilden, das
> Integral von 0 bis 4 allgemein berechnen und dann a so
> wählen, dass der Flächeninhalt stimmt.
> Gruß Abakus
ok. Dann hab ich jetzt:
f(x)= -a [mm] (x^{2}-4x)
[/mm]
[mm] \integral_{0}^{4}{-a (x^{2}-4x) dx} [/mm] = [-a [mm] (\bruch{1}{3}x^{3}-2x^{2})]...
[/mm]
= 16a
[mm] \bruch{8}{3}= [/mm] 16a
a= [mm] \bruch{1}{3}
[/mm]
-> f(x)= - [mm] \bruch{1}{3} (x^{2}-4x)
[/mm]
gruß,
Muellermilch
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Hallo Muellermilch,
> > > Abend :)
> > >
> > > Ich muss aus den folgenden Angaben die dazugehörige
> > > Funktionsgleichung suchen:
> > >
> > > Der Graph einer quadratischen Funktion f geht durch die
> > > Punkte A(0|0) und B (4|0). Er schließt mit der x-Achse
> > > eine Fläche A mit dem Inhalt [mm]\bruch{8}{3}[/mm] ein. Sein
> > > Extremum liegt im ersten Quadranten.
> > Heißt:
> > Nullstellen 0 und 4, Scheitelpunkt OBERHALB der
> x-Achse.
> > Diese Nullstellen hat die Funktion [mm]f_1(x)=x(x-4)[/mm] und
> somit
> > auch jede Funktion [mm]f(x)=a*x*(x-4)=a(x^2-4x).[/mm]
> > Da wegen des oben liegenden Scheitelpunkte die Funktion
> > nach unten geöffent ist, gilt a<0.
> > Jetzt kannst du die Stammfunktion F(x) bilden, das
> > Integral von 0 bis 4 allgemein berechnen und dann a so
> > wählen, dass der Flächeninhalt stimmt.
> > Gruß Abakus
>
> ok. Dann hab ich jetzt:
>
> f(x)= -a [mm](x^{2}-4x)[/mm]
>
> [mm]\integral_{0}^{4}{-a (x^{2}-4x) dx}[/mm] = [-a
> [mm](\bruch{1}{3}x^{3}-2x^{2})]...[/mm]
> = 16a
>
Der Vorfaktor stimmt nicht. [mm]\red{16}a[/mm]
>
> [mm]\bruch{8}{3}=[/mm] 16a
>
> a= [mm]\bruch{1}{3}[/mm]
>
> -> f(x)= - [mm]\bruch{1}{3} (x^{2}-4x)[/mm]
>
>
> gruß,
> Muellermilch
Gruss
MathePower
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