funktionsscharen < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:49 Di 08.05.2007 | | Autor: | Sarah288 |
Hallo zusammen,
ich habe ein kleines Problem: Ich wiederhole gerade das Thema "Funtionsscharen" und bin schon auf eine grundlegende Frage gestoßen. Wie beiweise ich, dass die Kurven einer Funktion gleich Punkte haben?
(Ich weiß, dass ich theoretisch 2 Zahlen einsetzen könnte und diese beiden Gleichungen gleichsetze. Aber da berechne ich ja nur die Schnittpunkte dieser beiden Kurven)
Kann mir vielleicht jemand helfen??
Vielen Dank im Voraus!
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Hallo Sarah!
Wähle Dir einfach zwei unterschiedliche Parameter $t_$ und $u_$ mit $t \ [mm] \not= [/mm] \ u$ und setze diese beiden Funktionsvorschriften ein.
Mit dieser Gleichung dann nach $x \ = \ ...$ umstellen.
Hast Du denn vielleicht mal ein konkretes Beispiel zur Hand?
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:02 Di 08.05.2007 | | Autor: | Sarah288 |
Erst einmal vielen Dank für deine Hilfe.
Ein konkretes Beispiel wäre z.B. [mm] f_{a}(x)=x^3+ax^2+(a-1)x
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:05 Di 08.05.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
dann musst du das hier so machen, wie Roadrunner das schon gesagt hat:
Du wählst dir einfach zwei allgemein Parameter [mm] a_{1} [/mm] und [mm] a_{2}, [/mm] und berechnst dann die Schnittpunkte der beiden Funktionen.
Was muss denn für den Schnittpunkt gelten, damit sich ALLE Graphen der Schar in dem selben Punkt schneiden?
LG
Kroni
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:08 Di 08.05.2007 | | Autor: | Sarah288 |
Dieser Punkt müsste doch unabhängig vom Parameter a sein, oder nicht??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:12 Di 08.05.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Genau richtig=)
Denn wenn die Schnittstelle unabhängig von a ist, sind zumindest schon einmal die x-Werte gleich.
Dann musst du noch diesen x-Wert einsetzen in [mm] f_{a}(x), [/mm] und zeigen, dass die Funktionswerte für diesen x-Wert auch alle gleich sind (denn das ist ja auch nicht automatisch so).
Wenn dann rauskommt, dass auch [mm] f_{a}(x) [/mm] für die Schnittstellen gleich sind, schneiden sich alle Graphen der Funktionsschar in diesem einen (oder auch mehreren) Punkten.
LG
Kroni
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:16 Di 08.05.2007 | | Autor: | Sarah288 |
Hallo, erst einmal vielen Dank für deine Hilfe, kannst du mir dieses Vorgehen vielleicht an folgenden Beispiel erklären??
[mm] f_{t}(x)=x^3-3t^2x
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:21 Di 08.05.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
ja, das kann ich:
[mm] f_{t}(x)=x^3-3t^2x
[/mm]
Nun zeigen wir, dass [mm] f_{t_1}(x)=f_{t_2}(x):
[/mm]
[mm] x^3-3t_1^2*x=x^3-3t_2^2*x
[/mm]
Das müssen wir jetzt nach x auflösen.
Was bekommst du dann für x heraus?
LG
Kroni
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:29 Di 08.05.2007 | | Autor: | Sarah288 |
Also, ich hab das mal versucht.
die [mm] x^3 [/mm] fallen weg...
dann bleibt übrig [mm] x*(-3t_{1}^2+3t_{2}^2)
[/mm]
aber ich weiß nicht wie es dann weiter geht
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:33 Di 08.05.2007 | | Autor: | Kroni |
> Also, ich hab das mal versucht.
>
> die [mm]x^3[/mm] fallen weg...
>
> dann bleibt übrig [mm]x*(-3t_{1}^2+3t_{2}^2)[/mm]
>
> aber ich weiß nicht wie es dann weiter geht
Hi, ja, das ist soweit richtig.
Du hast aber vergessen, dass dieser Term, den du dort stehen hast gleich Null sein soll.
Da [mm] t_{1} \not= t_{2} [/mm] ist der Term in der Klammer ungleich Null.
Also kannst du durch diesen Teilen.
Was bleibt dann für x übrig?
LG
Kroni
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:39 Di 08.05.2007 | | Autor: | Sarah288 |
ich würde sagen, dass x=0 ist...??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:44 Di 08.05.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
ja, x=0.
Und du siehst hier wunderbar, dass x=0 unabhängig von t ist.
Jetzt musst du nur noch zeigen, dass an der Stelle x=0 auch alle Graphen der Funktionsschar den selben Funktionswert haben, und du bist fertig.
LG
Kroni
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:46 Di 08.05.2007 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo Kroni!
> Jetzt musst du nur noch zeigen, dass an der Stelle x=0 auch
> alle Graphen der Funktionsschar den selben Funktionswert haben,
Das muss ja bereits wegen des Ansatzes [mm] $f_{t_1}(x) [/mm] \ = \ [mm] f_{t_2}(x)$ [/mm] gelten. 
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:50 Di 08.05.2007 | | Autor: | Sarah288 |
Ja okay, und da kommt jedes Mal für y = = raus, d.h. alle Kurven laufen durch den gemeinsamen Punkt P(0|0).
DANKE!!!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:54 Di 08.05.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
ja, das stimmt=)
LG
Kroni
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:02 Di 08.05.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
ja, da hast du recht.
Aber mein Hirn signalisierte mir Vorsicht bei dieser Rechnung.
Jetzt weiß ich auch wieder warum:
In einer Klausur war auch die Frage gestellt, wo bzw ob die FUnktionsschar gemeinsame Punkte besitzt.
Und dort habe ich dann auch diese Rechnung gemacht, und habe dann auch geschrieben, weil wegen Punkt, dass sowohl x als auch y von dem Parameter unabhängig sind.
Sicher ist das durch die Rechnung gegeben, denn dort bestimmt man ja, bzw guckt, wo es eine Schnittstelle gibt, die unabhängig vom Parameter ist, aber viele haben das gemacht, haben dann aber nicht noch geschreieben, dass auch der y-Wert übereinstimmt.
Naja, aber die Rechnung, ob da auch etwas rauskommt, was unabhängig vom Parameter ist, dient ja auch als Kontrolle.
Lieben Gruß,
Kroni =)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:43 Di 08.05.2007 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo Kroni!
Aber bitte aufpassen für den Fall [mm] $t_1 [/mm] \ = \ [mm] \red{-} [/mm] \ [mm] t_2$ [/mm] . Denn für diesen Fall darfst Du nicht einfach durch die Klammer teilen.
Dies wird deutlich, wenn Du die Klammer wie folgt auflöst:
[mm] $-3*t_1^2+3*t_2^2 [/mm] \ = \ [mm] -3*\left(t_1^2-t_2^2\right) [/mm] \ = \ [mm] -3*(t_1-t_2)*(t_1+t_2)$
[/mm]
Und nur die eine Klammer [mm] $(t_1-t_2)$ [/mm] ist gemäß Voraussetzung [mm] $t_1 [/mm] \ [mm] \not= [/mm] \ [mm] t_2$ [/mm] auch immer ungleich $0_$ !
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:53 Di 08.05.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
ja, hast recht.
Liegt ja an dem [mm] t^2 [/mm] was dort steht.
Okay, dann argumentiere ich so:
Damit das Produkt aus [mm] x*(t1^2-t2^2)=0 [/mm] ist, muss x=0 gelten.
Das ist dann unabhängig von t.
LG
Kroni
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:00 Di 08.05.2007 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo Kroni!
Andererseits entstehen ja durch die Bedingung [mm] $t_1 [/mm] \ = \ [mm] -t_2$ [/mm] auch identische Kurven der Schar (aufgund des [mm] $t^{\red{2}}$ [/mm] ), so dass man den Fall [mm] $t_1 [/mm] \ = \ [mm] -t_2$ [/mm] doch außen vor lassen kann.
Aber zumindest erwähnt haben sollte man es ...
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:03 Di 08.05.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
ja sowohl für t1=t2 (was ja ausdrücklich am Anfang ausgeschlossen wurde) als auch für t1=-t2 ergibt sich beim Gleichsetzten eine allgemeingültige Aussage
Somit sind die Graphen identisch.
Ja, ist gut, dass wir drüber geredet haben, denn das zeigt doch mal wieder die Schönheit der Mathematik/Analysis, wo man mal sieht, was man alles aus einer einzigen Gleichung rausholen kann.
LG
KRoni
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:16 Di 08.05.2007 | | Autor: | Sarah288 |
Hallo, ich habe noch mal eine Frage zu der Aufgabe, die ich als allererstes geschrieben habe.
Ich habe mal versucht so vorzugehen, wie es mir erklärt wurde.
[mm] x^3+ax^2+(a-1)x=x^3+ux^3+(u-1)x
[/mm]
[mm] ax^2-ux^2+(a-1)x-(u-1)x
[/mm]
x(ax-ux+a-u)=0
für das erste x gilt x=0 und wie rechne ich das bei der Klammer aus???
Vielen Dank für eure Hilfe!!
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Hallo Sarah,
> Hallo, ich habe noch mal eine Frage zu der Aufgabe, die ich
> als allererstes geschrieben habe.
>
> Ich habe mal versucht so vorzugehen, wie es mir erklärt
> wurde.
>
> [mm]x^3+ax^2+(a-1)x=x^3+ux^3+(u-1)x[/mm]
> [mm]ax^2-ux^2+(a-1)x-(u-1)x[/mm][mm] \red{=0}
[/mm]
Klammere hier bei den ersten beiden Summanden [mm] $x^2$ [/mm] aus und bei den letzten beiden $x$
Dann erhältst du [mm] $(a-u)x^2+(a-1-(u-1))x=0\gdw (a-u)x^2+(a-u)x=0$
[/mm]
Das kannst du nun durch a-u teilen, da [mm] a\ne [/mm] u (also [mm] a-u\ne [/mm] 0)vorausgesetzt ist (es sind ja verschiedene Parameter) und erhältst:
[mm] $x^2+x=0$ [/mm] Das liefert dir die gemeinsamen Punkte - und die sind unabh. von a und u
> x(ax-ux+a-u)=0
> für das erste x gilt x=0 und wie rechne ich das bei der
> Klammer aus???
>
> Vielen Dank für eure Hilfe!!
Gruß
schachuzipus
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Hallo Sarah!
Du kannst dem Klammerausdruck [mm] $\left(a*x-u*x+a-u\right) [/mm] \ = \ 0$ auch mittels Ausklammern beikommen:
$0 \ = \ [mm] a*\red{x}-u*\red{x}+a-u [/mm] \ = \ [mm] \red{x}*\blue{(a-u)}+\blue{(a-u)} [/mm] \ = \ [mm] \blue{(a-u)}*\left(\red{x}*\blue{1}+\blue{1}\right) [/mm] \ = \ (a-u)*(x+1)$
Und da ja gemäß Voraussetzung $a \ [mm] \not= [/mm] \ u$ [mm] $\gdw$ [/mm] $a-u \ [mm] \not= [/mm] \ 0$ gilt, darfst Du durch diese Klammer teilen und erhältst: $x+1 \ = \ 0$ .
Gruß vom
Roadrunner
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