g-adische Entwicklung < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:09 Di 18.12.2007 | | Autor: | silencio |
| Aufgabe | Sei g eine natürliche Zahl größer oder gleich zwei und sei x eine reelle Zahl aus dem halboffenen Intervall [0,1). Dann besitzt x eine g-adische Entwicklung (oder Ziffernfolge [mm] (x_{n})), [/mm] d.h.
[mm] x=\summe_{n=1}^{\infty}x_{n}/g^{n} [/mm] mit [mm] x_{n} [/mm] ∈ {0,1,...,g−1}.
(i) Zeigen Sie, dass jede solche Summe konvergiert und zwischen einschließlich 0 und 1 liegt.
(ii) Wir bezeichnen mit ⌊x⌋ den ganzzahligen Anteil einer reellen Zahl x. Dann können wir die Ziffern [mm] x_{n} [/mm] folgendermaßen bestimmen.
[mm] x_{1} [/mm] = ⌊xg⌋
[mm] x_{n+1} [/mm] = [mm] (x-\summe_{k=1}^{n}x_{k}/g^{k})g^{n+1}
[/mm]
Zeigen Sie, dass die so definierten Ziffern tatsächlich die obige Gleichung erfüllen.
(iii) Können verschiedene Ziffernfolgen dieselbe Summe haben? |
Ich hab leider gar keine Ahnung was ich hier machen soll.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Sei g eine natürliche Zahl größer oder gleich zwei und sei
> x eine reelle Zahl aus dem halboffenen Intervall [0,1).
> Dann besitzt x eine g-adische Entwicklung (oder
> Ziffernfolge [mm](x_{n})),[/mm] d.h.
> [mm]x=\summe_{n=1}^{\infty}x_{n}/g^{n}[/mm] mit [mm]x_{n}[/mm] ∈
> {0,1,...,g−1}.
>
> (i) Zeigen Sie, dass jede solche Summe konvergiert und
> zwischen einschließlich 0 und 1 liegt.
Hallo,
ein Tip hierzu:
schätze die Reihe mithilfe zweier geometrischer Reihen ab.
Gruß v. Angela
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