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| Aufgabe | Jede positive reele Zahl hat eine eindeutig bestimmte g-adische Entwicklung:
x = [mm] \summe_{k=l}^{\infty} a_{k} g^{-k} [/mm] |
Hallo alle miteinander,
ich bereite mit zur Zeit auf meine Zwischenprüfung vor und bin auf ein Thema gestoßen, dass mir vollkommen fremd ist. Was zum Teufel sind denn g-adische Entwicklungen?!? Das Skript hilft mir diesbezüglich echt nicht weiter und auch mit dem Internet komme ich irgendwie nicht weiter.
Ich hoffe wirklich, dass ihr mir da helfen könnt
Liebe (und verzweifelte) Grüße
Sabine
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> Jede positive reele Zahl hat eine eindeutig bestimmte
> g-adische Entwicklung:
> x = [mm]\summe_{k=l}^{\infty} a_{k} g^{-k}[/mm]
> Hallo alle
> miteinander,
> ich bereite mit zur Zeit auf meine Zwischenprüfung vor und
> bin auf ein Thema gestoßen, dass mir vollkommen fremd ist.
> Was zum Teufel sind denn g-adische Entwicklungen?!? Das
> Skript hilft mir diesbezüglich echt nicht weiter und auch
> mit dem Internet komme ich irgendwie nicht weiter.
> Ich hoffe wirklich, dass ihr mir da helfen könnt
>
> Liebe (und verzweifelte) Grüße
> Sabine
Guten Tag Sabine,
zum Glück kann man dir leicht helfen, denn eigentlich handelt
es sich um etwas, das dir mindestens in einem Spezialfall seit
Jahren vertraut ist. Nur die Bezeichnung "g-adische Entwicklung"
klingt so seltsam und rätselhaft.
Nehmen wir als Beispiel die positive reelle (mit zwei "l" !)
Zahl π :
π $\ =\ 3.14159.....$
$\ =\ [mm] 3*10^0+1*10^{-1}+4*10^{-2}+1*10^{-3}+5*10^{-4}+9*10^{-5}+\,.....$
[/mm]
$\ =\ [mm] \summe_{k=0}^{\infty} a_{k}\,*\, 10^{-k}$
[/mm]
wobei [mm] a_0=3 [/mm] , [mm] a_1=1 [/mm] , [mm] a_2=4 [/mm] , [mm] a_3=1 [/mm] , [mm] a_4=5 [/mm] , [mm] a_5=9 [/mm] , .....
Die 10-adische Entwicklung einer Zahl ist also einfach ihre
Darstellung im Dezimalsystem. Nun kann an die Stelle der
Basis g=10 irgendeine andere ganze Zahl g (mit g>1) treten.
Noch ein Beispiel:
Es sei g=5 , l=-4 und [mm] a_k=k [/mm] mod 3 für alle [mm] k\in\IZ [/mm] mit [mm] k\ge-4 [/mm]
Dann ergibt sich die Zahl
$\ x\ =\ [mm] 2*5^4+0*5^3+1*5^2+2*5^1+0*5^0+1*5^{-1}+2*5^{-2}+0*5^{-3}+1*5^{-4}+\,.....$
[/mm]
Übung: berechne den exakten Wert von x !
LG Al-Chwarizmi
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:54 Di 09.03.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Jede positive reele Zahl hat eine eindeutig bestimmte
> g-adische Entwicklung:
> x = [mm]\summe_{k=l}^{\infty} a_{k} g^{-k}[/mm]
Eine Anmerkung: die Aufgabenstellung ist so nicht korrekt, da etwa die Zahl $1$ zwei $g$-adische Entwicklungen hat, naemlich einmal mit [mm] $a_0 [/mm] = 1$ und [mm] $a_i [/mm] = 0$ fuer $i > 0$, und dann [mm] $a_0 [/mm] = 0$ und [mm] $a_i [/mm] = g - 1$ fuer $i > 0$.
Fuer $g = 10$ ist das $x = 1 = [mm] 0.\overline{9}$.
[/mm]
LG Felix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:46 Di 09.03.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo!
>
> > Jede positive reele Zahl hat eine eindeutig bestimmte
> > g-adische Entwicklung:
> > x = [mm]\summe_{k=l}^{\infty} a_{k} g^{-k}[/mm]
>
> Eine Anmerkung: die Aufgabenstellung ist so nicht korrekt,
> da etwa die Zahl [mm]1[/mm] zwei [mm]g[/mm]-adische Entwicklungen hat,
> naemlich einmal mit [mm]a_0 = 1[/mm] und [mm]a_i = 0[/mm] fuer [mm]i > 0[/mm], und
> dann [mm]a_0 = 0[/mm] und [mm]a_i = g - 1[/mm] fuer [mm]i > 0[/mm].
>
> Fuer [mm]g = 10[/mm] ist das [mm]x = 1 = 0.\overline{9}[/mm].
>
> LG Felix
Hallo Felix,
Sabine hat wohl vergessen, uns mitzuteilen, wie in ihrer Vorlesung "g-adische Entwicklung " def. wurde.
Es gibt zwei Möglichkeiten, wie man die Eindeutigkeit von
x = $ [mm] \summe_{k=l}^{\infty} a_{k} g^{-k} [/mm] $ erzwingen kann:
(1) [mm] a_k [/mm] = 0 für fast alle k ist verboten
oder
(2) [mm] a_k [/mm] = g-1 für fast alle k ist verboten
Gruß FRED
>
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Oh, ihr habt recht. Wir haben in unserem Skript die 2. Definition, die FRED genannt hat - tut mir leid *rotwerd*
Ansonsten erstmal vielen Dank für eure Hilfe...
Aber zu der Übungsaufgabe von Al-Chwarizmi. Was meinst du denn, soll ich mit den Zahlen anstellen?! Also ich soll sie doch bestimmt nicht einfach nur addieren, sondern soll ein Muster dahin erkennen, welches mir die gesuchte Zahl als Grenzwert liefert, oder? Was soll mir das l=-4 eigentlich dazu noch sagen? Irgendwie verstehe ich das immer noch nicht so ganz....
Liebe Grüße
Sabine
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> Oh, ihr habt recht. Wir haben in unserem Skript die 2.
> Definition, die FRED genannt hat - tut mir leid *rotwerd*
> Ansonsten erstmal vielen Dank für eure Hilfe...
> Aber zu der Übungsaufgabe von Al-Chwarizmi. Was meinst du
> denn, soll ich mit den Zahlen anstellen?! Also ich soll sie
> doch bestimmt nicht einfach nur addieren, sondern soll ein
> Muster dahin erkennen, welches mir die gesuchte Zahl als
> Grenzwert liefert, oder? Was soll mir das l=-4 eigentlich
> dazu noch sagen? Irgendwie verstehe ich das immer noch
> nicht so ganz....
>
> Liebe Grüße
> Sabine
OK, das zweite Beispiel war nur gedacht, um noch eines
mit einem nicht dezimalen System zu bringen, eben z.B.
mit der Basis 5.
Der Wert l=-4 sagt nur, mit welchem Index die Summa-
tion beginnen soll, mit anderen Worten, mit welcher
Stelle (hier "Quintesimale") vor dem Komma die Zahl
beginnen soll. Im übrigen ist das eine kleine Übung zum
Thema geometrische Reihen.
Als Ergebnis (exakter Wert) habe ich bekommen:
[mm] $\frac{159375}{124}\ [/mm] =\ [mm] 1285\,+\,\frac{35}{124}$
[/mm]
LG Al-Chw.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:47 Mi 10.03.2010 | | Autor: | fred97 |
> Oh, ihr habt recht. Wir haben in unserem Skript die 2.
> Definition, die FRED genannt hat - tut mir leid *rotwerd*
> Ansonsten erstmal vielen Dank für eure Hilfe...
> Aber zu der Übungsaufgabe von Al-Chwarizmi. Was meinst du
> denn, soll ich mit den Zahlen anstellen?! Also ich soll sie
> doch bestimmt nicht einfach nur addieren, sondern soll ein
> Muster dahin erkennen, welches mir die gesuchte Zahl als
> Grenzwert liefert, oder? Was soll mir das l=-4 eigentlich
> dazu noch sagen? Irgendwie verstehe ich das immer noch
> nicht so ganz....
Ihr hattet also obige Eig. (2). Weiter hattet Ihr sicher eine Vorschrift , wie Ihr die [mm] a_k [/mm] 's fabriziert. Zur Eindeitigkeit, nimm an, es gelte
x = $ [mm] \summe_{k=l}^{\infty} a_{k} g^{-k}= [/mm]
[mm] \summe_{k=l}^{\infty} b_{k} g^{-k} [/mm] $
wobei für [mm] (b_k) [/mm] natürlich auch (2) gilt. Zeige: [mm] a_k [/mm] = [mm] b_k [/mm] für jedes k
FRED
>
> Liebe Grüße
> Sabine
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