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| Aufgabe | Die Gleichung fa(x)=ax³- x²/a, a>0 definiert eine ganzrationale Funktionenschar.
a) Begründe, dass alle Graphen durch den Ursprung gehen.
b) Zeige, dass alle Funktionen eine weitere Nullstelle bei x= 1/a² haben
c) Bestimmte die ersten drei Ableitungen von fa.
d) Begründe, dass der Ursprung Hochpunkt aller Graphen der Kurvenschar ist
e) Zeige, dass alle Graphen einen Tiefpunkt bei ( 2/3a² ; [mm] -4/27a^5 [/mm] )
f) Zeige, dass alle Graphen einen Wendepunkt haben, dess Koordinaten genau halb so groß sind wie die des Tiefpunktes
g) Die Koordinaten des Tiefpunktes kann man als Gleichuingssystem x= 2/3a² und [mm] y=-4/27a^5 [/mm] schreiben. Löse die erste Gleichung nach a auf und setze das Ergebnis in die zweite Gleichung ein. Das Ergebnis ist die Gleichung der "Ortskurve der Tiefpunkte". Ergebnis: y=-wurzel [mm] x^5/6 [/mm] |
Könnte jmd. die Aufgaben bitte lösen und Begründungen festlegen, damit ich sie mit meiner vergleichen kann, wobei ich ziemlich sicher bin das meine falsch sind?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:18 Mi 07.05.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Hier läuft es andersherum. Du stellst deine Ideen und Lösungen hier rein, und wir kontrollieren hier.
> Die Gleichung fa(x)=ax³- x²/a, a>0 definiert eine
> ganzrationale Funktionenschar.
> a) Begründe, dass alle Graphen durch den Ursprung gehen.
> b) Zeige, dass alle Funktionen eine weitere Nullstelle bei
> x= 1/a² haben
für a) und b) setze mal
[mm] 0=ax³-\bruch{x²}{a}
[/mm]
[mm] \gdw ax²(x-\bruch{1}{a})=0
[/mm]
[mm] \gdw ax^{2}=0 [/mm] oder [mm] x-\bruch{1}{a}=0
[/mm]
...
PS: Bist du sicher, dass die Funktion [mm] f_{a}(x)=ax^{3}-\bruch{x²}{a} [/mm] ist und nicht: [mm] f_{a}(x)=ax^{3}-\bruch{x²}{a^{\red{2}}}
[/mm]
Dann würde nämlich Aufgabe b zum falschen Ergebnis führen.
> c) Bestimmte die ersten drei Ableitungen von fa.
[mm] f_{a}(x)=a*x³-\bruch{1}{a}*x²
[/mm]
[mm] f_{a}'(x)=a*[x³]'-\bruch{1}{a}*[x²]'
[/mm]
> d) Begründe, dass der Ursprung Hochpunkt aller Graphen der
> Kurvenschar ist
Es muss gelten: [mm] f_{a}'(0)=0 [/mm] und [mm] f_{a}''(0)<0
[/mm]
(Beachte aber dabei auch die Einschränkung a>0 in der Aufgabenstellung
> e) Zeige, dass alle Graphen einen Tiefpunkt bei ( 2/3a² ;
> [mm]-4/27a^5[/mm] )
Hier muss gelten:
[mm] f_{a}'(\bruch{2}{3}a²)=0, [/mm]
[mm] f_{a}''(\bruch{2}{3}a²)>0
[/mm]
und [mm] f_{a}(\bruch{2}{3}a²)=-\bruch{4}{27}a^{5}
[/mm]
> f) Zeige, dass alle Graphen einen Wendepunkt haben, dess
> Koordinaten genau halb so groß sind wie die des
> Tiefpunktes
Also ist die x-Koordinate: [mm] \bruch{2}{3}a²*\bruch{1}{2}=...
[/mm]
Und jetzt muss gelten
[mm] f_{a}''(...)=0
[/mm]
[mm] f_{a}'''(...)\ne0
[/mm]
> g) Die Koordinaten des Tiefpunktes kann man als
> Gleichuingssystem x= 2/3a² und [mm]y=-4/27a^5[/mm] schreiben. Löse
> die erste Gleichung nach a auf und setze das Ergebnis in
> die zweite Gleichung ein. Das Ergebnis ist die Gleichung
> der "Ortskurve der Tiefpunkte". Ergebnis: y=-wurzel [mm]x^5/6[/mm]
Hier steht doch schon der Lösungsweg.
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:55 Mi 07.05.2008 | | Autor: | expositiv |
die funktion ist nicht falsch geschrieben
[mm] f_{a}(x)=ax^3-\bruch{x^2}{a}
[/mm]
danke für die mühe übrigens
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