ganzrationale Funktionenschar < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Die Gleich fa(x)= [mm] \bruch{x^4}{a} [/mm] - ax , a>0 definiert eine ganzrationale Funktionenschar.
a) Untersuche das Verhalten der Scharfunktionen für |x| [mm] \to \infty [/mm] und berechne die Nullstellen.
b) Bilde die ersten drei Ableitungen und berechne die Koordinaten der lokalen Extrempunkte. Ermittle die Gleichung der Ortskurve der Extrempunkte.
Hinweis: Der Funktionswert der Extrempunkte läßt sich zu - [mm] \bruch{3a}{4} [/mm]
[mm] ³\wurzel{\bruch{a^2}{4}} [/mm] umformen |
Guten Tag,
Möchte mich mal heute mit den Funktionenscharen (wieder) befassen und häng grad bei der Ermittlung der Ortskurve der Extrempunkte. Nämlich komm ich beim einsetzen total durcheinander. Außerdem möcht ich noch evtl. Korrektur meiner Lösungen erhalten. (was sehr nett von demjenigen wäre)
a) Wegen des geraden Exponenten und des positiven Vorzeichens gild bei x [mm] \to \infty [/mm] und x [mm] \to [/mm] - [mm] \infty [/mm] das gleiche. Da sie jedoch nur für a>0 definiert ist gilt:
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] f(x) = [mm] \limes_{x\rightarrow - \infty} [/mm] f(x) = + [mm] \infty
[/mm]
Nullstellen: x=0 [mm] \vee [/mm] x= [mm] ³\wurzel{a^2}
[/mm]
b)
Ableitungen:
fa'(x)= [mm] \bruch{4x^3}{a} [/mm] - a
fa''(x)= [mm] \bruch{12x^2}{a}
[/mm]
fa'''(x)= [mm] \bruch{24x}{a}
[/mm]
Extremstellen: x= [mm] ³\wurzel{\bruch{a^2}{4}}
[/mm]
Meine Frage zu der Ortskurve:
Ich wurd ja schon bereits darauf hingewiesen was herauskommt wenn man es umformt. Hab jetzt a aufgelöst und bekam a= [mm] \wurzel{4x^3} [/mm] soll ich den Wert jetzt statt a einsetzen und kürzen. Wenn ja worauf muss ich achten?
MfG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:07 Do 26.06.2008 | | Autor: | ardik |
Hallo djmatey,
> > Extremstellen: x= [mm]³\wurzel{\bruch{a^2}{4}}[/mm]
> > herauskommt wenn man es umformt. Hab jetzt a aufgelöst und
> > bekam a= [mm]\wurzel{4x^3}[/mm]
>
> Achtung: Streng genommen ist hier die negative Wurzel
> [mm]-\wurzel{4x^3}[/mm] auch eine Lösung der Gleichung.
Allerdings ist a>0 vorgegeben, somit das x der Extremstelle ebenfalls positiv, somit ergibt die negative Wurzel kein zulässiges a.
Schöne Grüße
ardik
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:10 Do 26.06.2008 | | Autor: | djmatey |
Hast Recht - schon wieder ein ">0" übersehen 
Danke!
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. In der y-Koordinate (die dann auch von a abhängt), ersetzt Du dann a und erhältst damit Deine Ortskurve.
