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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:04 Do 27.01.2005 | | Autor: | Gaspy |
hallo zusammen,
habe wieder ein Problem mit 'nem Ansatz und würde mich freuen wenn mir jemand einen Tip geben könnte.
der Graph einer ganzrationalen Funktion dritten Grades, die bei [mm] P_{1} [/mm] (1,0) einen Wendeounkt und bei [mm] P_{2} [/mm] (0,-2) ein lokales Minimum hat, teilt das Rechteck x [0,3] und y [-2,2] in mehrere Teile.
Wie viele Teile sind es und in welchem Verhälltnis stehen die Flächen zu einander?
Die Fkt dritten Grades ist doch
[mm] y=x^3 [/mm] + [mm] x^2 [/mm] + x oder ist das [mm] y=ax^3 [/mm] + [mm] bx^2 [/mm] + cx + d ?
habe Letzteres genommen und die ersten drei Ableitungen hergeleitet
y' = [mm] 3ax^2 [/mm] +2bx +c
y'' = 6ax +2b
y'''= 6a
und nun weiss ich nicht mehr so richtig was ich machen soll.
Die Bedingungen für einen Wendepunkt sind y''=0 und y''' [mm] \not= [/mm] 0
Die Bedingungen für ein Minimum y'= 0 und y'' > 0
Wenn ich nun die Koordinaten für den Wendepunkt in die entsprechenden Ableitungen einsetze bekomme ich y''_{1} = 6a +2b und y'''_{1} = 6a
Beim Minimum bekomme ich y'_{0} = c und y''_{0} = 2b
und nun befürchte ich das meine Wahl [mm] y=ax^3 [/mm] + [mm] bx^2 [/mm] + cx + d zu benutzen nicht meine klügste war denn ich habe nun keine Ahnung was ich mit den Ableitungen anfangen soll.
Vielleicht liegt es auch daran das 6 std Mathe am Stück einfach zu viel für mich sind.
danke im Vorraus
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Hallo Kristijan! (schöner Name!  )
> der Graph einer ganzrationalen Funktion dritten Grades, die
> bei [mm]P_{1}[/mm] (1,0) einen Wendeounkt und bei [mm]P_{2}[/mm] (0,-2) ein
> lokales Minimum hat, teilt das Rechteck x [0,3] und y
> [-2,2] in mehrere Teile.
> Wie viele Teile sind es und in welchem Verhälltnis stehen
> die Flächen zu einander?
Diese Aufgabe hört sich ziemlich komplex an - ist das vielleicht schon ne direkt Vorübung fürs Abitur??
> Die Fkt dritten Grades ist doch
> [mm]y=x^3[/mm] + [mm]x^2[/mm] + x oder ist das [mm]y=ax^3[/mm] + [mm]bx^2[/mm] + cx + d ?
>
> habe Letzteres genommen und die ersten drei Ableitungen
> hergeleitet
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") Du musst auf jeden Fall letzteres nehmen!!! Schließlich hättest du ja sonst schon eine fertige Funktion gegeben, und das ganze sieht mir doch schwer nach Steckbriefaufgabe aus! Merk dir einfach, dass du bei solchen Aufgaben immer Koeffizienten a,b,c usw. dabei hast.
> y' = [mm]3ax^2[/mm] +2bx +c
> y'' = 6ax +2b
> y'''= 6a
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> und nun weiss ich nicht mehr so richtig was ich machen
> soll.
>
> Die Bedingungen für einen Wendepunkt sind y''=0 und y'''
> [mm]\not=[/mm] 0
> Die Bedingungen für ein Minimum y'= 0 und y'' > 0
> Wenn ich nun die Koordinaten für den Wendepunkt in die
> entsprechenden Ableitungen einsetze bekomme ich y''_{1} =
> 6a +2b und y'''_{1} = 6a
Nun hast du ja eben selbst gesagt, dass die zweite Ableitung bei einem Wendepunkt =0 sein muss, also schreibst du auf:
6a+2b=0
Da nun auch noch die dritte Ableitung [mm] \not=0 [/mm] sein muss schreibst du weiter:
[mm] 6a\not=0
[/mm]
und daraus kannst du folgern:
[mm] a\not=0 [/mm] (diese Bedingung brauchst du in deinem Fall aber glaube ich nicht für die weitere Berechnung. Solltest du allerdings am Ende a=0 erhalten, weiß du, dass du irgendetwas falsch gemacht hast!)
> Beim Minimum bekomme ich y'_{0} = c und y''_{0} = 2b
Nun soll die erste Ableitung an der Stelle 0 =0 sein, es folgt also:
[mm] \Rightarrow [/mm] c=0
und die zweite Ableitung soll >0 sein, also:
[mm] \Rightarrow [/mm] 2b>0 [mm] \gdw [/mm] b>0
> und nun befürchte ich das meine Wahl [mm]y=ax^3[/mm] + [mm]bx^2[/mm] + cx +
> d zu benutzen nicht meine klügste war denn ich habe nun
> keine Ahnung was ich mit den Ableitungen anfangen soll.
> Vielleicht liegt es auch daran das 6 std Mathe am Stück
> einfach zu viel für mich sind.
Wie ich oben schon sagte, war deine Wahl vollkommen richtig, und ich glaube, dass nicht nur für dich 6 Stunden Mathe am Stück etwas zu viel sind. Wenn du ausgeruht bist und dir meine Antwort durchliest, dann verstehst du es doch bestimmt und schaffst es das nächste Mal im ausgeruhten Zustand bestimmt auch alleine! Das traue ich dir jedenfalls zu, nach diesen Ansätzen hier. Du hast nämlich eigentlich nur das einfachste vergessen:
Sowohl der Wendepunkt als auch der Tiefpunkt sind Punkte deines Graphen, du hast also noch zwei weitere Gleichungen:
f(1)=0 (Wendepunkt)
also:
f(1)=a+b+c+d=0
[mm] \gdw [/mm] (da c=0, siehe oben)
a+b+d=0
und f(0)=-2 (Tiefpunkt)
also:
f(0)=d [mm] \Rightarrow [/mm] d=-2
somit kannst du die Gleichung vom Wendepunkt noch vereinfachen zu:
a+b=2
Nun hast du von deinen 4 Unbekannten schon zwei bestimmt, nämlich c=0 und d=-2, und für die restlichen beiden hast du zwei Gleichungen, nämlich die beiden, die ich fett gedruckt habe. Daraus kannst du nun ganz leicht die letzten beiden Unbekannten berechnen und erhältst (hoffentlich):
[mm] f(x)=-x^3+3x^2-2
[/mm]
(Ich habe für diese Funktion nochmal den Tiefpunkt und den Wendepunkt nachgerechnet, es müsste also eigentlich stimmen.)
Nun hast du also schon mal die gesuchte Funktion gefunden. Um nun herauszufinden, in wie viele Teile sie das Rechteckt teilt, würde ich sie (nur zur Veranschaulichung) erstmal zeichnen (lassen). Dann stellen wir nämlich schon einmal fest, dass die Hoch- und Tiefpunkte auf dem Rand des Rechtecks liegen (wichtig ist, dass sie nicht außerhalb liegen, sonst müssten wir gleich noch mehr bedenken beim Rechnen). Ich würde sagen, wir müssen jetzt die Schnittpunkte mit dem Rechteck berechnen - schaffst du das? Aus dem Graphen lese ich folgendes ab: x=0, x=2, x=3 - aber du solltest auch rechnerisch drauf kommen (ist halt nur einfacher, wenn man's vorher mal gesehen hat). Also, versuch es mal - ansonsten melde dich.
Da wir nun 3 Schnittpunkte haben, haben wir auch drei Flächen. Was musst du nun noch machen, um das Verhältnis der Flächen zu berechnen? Ich würde sagen, du berechnest von jeder Fläche den Flächeninhalt und stellst dann alle drei mal ins Verhältnist. Schaffst du das? (Tipp: du brauchst Integrale, und deine Integrationsgrenzen sind die Schnittpunkte)
Uff - das war eine lange Aufgabe - ich hoffe, die Antwort hilft dir weiter! 
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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