geeignete Integration < Integr.+Differenz. < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:29 Di 26.03.2013 | | Autor: | dproeve |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
ich soll durch geeignete Integration zeigen, dass [mm] \forall [/mm] n,m [mm] \in \IN [/mm] 0
[mm] \integral_{0}^{2\pi}{sin(nx)*sin(mx)dx}
[/mm]
[mm] \pi [/mm] für n=m
und
0 für [mm] n\not=m [/mm] oder n=m=0
Hab absolut kein Ansatz, wie ich das machen soll, ich bin für jede Hilfe dankbar
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:36 Di 26.03.2013 | | Autor: | fred97 |
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hallo,
> ich soll durch geeignete Integration zeigen, dass [mm]\forall[/mm]
> n,m [mm]\in \IN[/mm] 0
>
> [mm]\integral_{0}^{2\pi}{sin(nx)*sin(mx)dx}[/mm]
>
> [mm]\pi[/mm] für n=m
> und
> 0 für [mm]n\not=m[/mm] oder n=m=0
>
> Hab absolut kein Ansatz, wie ich das machen soll,
Wie wärs mit partieller Integration ?
FRED
> ich bin
> für jede Hilfe dankbar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:45 Di 26.03.2013 | | Autor: | dproeve |
also jeden Ausdruck einzelnd integrieren?
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Hallo nochmal,
> also jeden Ausdruck einzelnd integrieren?
Nein. Schlag mal ![[]](/images/popup.gif) partielle Integration nach. Das ist sozusagen die Umkehrung der Produktregel beim Differenzieren/Ableiten.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:04 Di 26.03.2013 | | Autor: | dproeve |
also nach der Formel :
[mm] \bruch{cos(nx)}{n}*sin(mx) -\integral_{0}^{2\pi}{\bruch{-cos(nx)}{n}*m*cos(mx)}
[/mm]
richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:30 Di 26.03.2013 | | Autor: | Helbig |
> also nach der Formel :
>
> [mm]\bruch{cos(nx)}{n}*sin(mx) -\integral_{0}^{2\pi}{\bruch{-cos(nx)}{n}*m*cos(mx)}[/mm]
>
> richtig?
Dies ist eigentlich keine Formel, die richtig oder falsch sein kann, sondern nur ein Term.
Wenn ich den Term zu der gemeinten Gleichung ergänze, erhalte ich Falsches. Im linken Term ist das Vorzeichen falsch und es fehlen die Grenzen. Aber sonst bist Du auf dem richtigen Weg!
liebe Grüße,
Wolfgang
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:58 Di 26.03.2013 | | Autor: | dproeve |
ok, nach zweimaliger Integration bin ich nun wieder beim Ausgangsterm angelangt.
[mm] \integral_{0}^{2\pi}{sin(mx)*sin(nx)dx}
[/mm]
diesen habe ich dann einfach integriert und habe als Ergebnis
[mm] \bruch{sin(m-n)2\pi(m+n)-sin(m+n)2\pi(m-n)}{2m^{2}-n^{2}}
[/mm]
soweit auf dem richtigen Weg?
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Hallo nochmal,
> ok, nach zweimaliger Integration bin ich nun wieder beim
> Ausgangsterm angelangt.
Super. Das ist genau die Idee.
> [mm]\integral_{0}^{2\pi}{sin(mx)*sin(nx)dx}[/mm]
>
> diesen habe ich dann einfach integriert
Äh, wie denn?
Aus der zweimaligen partiellen Integration kannst Du das Integral doch ermitteln. Genau darum gehts ja.
> und habe als
> Ergebnis
>
> [mm]\bruch{sin(m-n)2\pi(m+n)-sin(m+n)2\pi(m-n)}{2m^{2}-n^{2}}[/mm]
Nein, das stimmt so nicht. Im Zähler fehlen mindestens noch Klammern (eher mehr...), und der Nenner ist nicht richtig.
> soweit auf dem richtigen Weg?
Besser, Du rechnest das mal vor.
Dann finden wir leichter, wo es eigentlich hängt.
Dein Ergebnis ist zwar noch nicht richtig, aber es gibt schon große Ähnlichkeiten mit dem Gesuchten...
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:07 Di 26.03.2013 | | Autor: | dproeve |
ahhh ich hab was vergessen mit abzuschreiben,
also nach der 2. Integration habe ich
[mm] \bruch{m^2}{n^2} \integral_{0}^{2\pi}{sin(mx)*sin(mx) dx}
[/mm]
als nächstes habe ich Integriert und bekomme
[mm] \bruch{m^2}{n^2}(\bruch{sin((m-n)x)}{2(m-n)}-\bruch{sin((m+n)x)}{2(m+n)})
[/mm]
dann habe ich den Hauptnenner in der Klammer gebildet und komme auf
[mm] \bruch{m^2}{n^2}*(\bruch{sin((m-n)x)(m+n)-sin((m+n)x)(m-n)}{2(m-n)^2})
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:42 Di 26.03.2013 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> ahhh ich hab was vergessen mit abzuschreiben,
>
> also nach der 2. Integration habe ich
>
> [mm]\bruch{m^2}{n^2} \integral_{0}^{2\pi}{sin(mx)*sin(mx) dx}[/mm]
das sieht falsch aus, denn der Integrand würde sich ja dann vereinfachen zu [mm] $\sin^2(mx)$
[/mm]
>
> als nächstes habe ich Integriert und bekomme
Nach der zweiten partiellen Inegration, brauchst Du nicht weiter zu integrieren.
>
> [mm]\bruch{m^2}{n^2}(\bruch{sin((m-n)x)}{2(m-n)}-\bruch{sin((m+n)x)}{2(m+n)})[/mm]
>
> dann habe ich den Hauptnenner in der Klammer gebildet und
> komme auf
>
> [mm]\bruch{m^2}{n^2}*(\bruch{sin((m-n)x)(m+n)-sin((m+n)x)(m-n)}{2(m-n)^2})[/mm]
>
Was da steht ist völlig sinnlos. Spendiere Deinen Termen doch mal ein paar Gleichheitszeichen....
Die Idee der zwemaligen Integration besteht darin, dass Du dann eine Gleichung der Form:
[mm] $\int \sin mx\sin nx\,\mathrm{dx}=\ldots=\ldots\text{konst.}\cdot\int \sin mx\sin nx\,\mathrm{dx}$ [/mm] hast.
Diese Gleichung kannst Du dann nach [mm] $\int \sin mx\sin nx\,\mathrm{dx}$ [/mm] auflösen.
Gruß,
notinX
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:05 Di 26.03.2013 | | Autor: | dproeve |
Boah, schwere Geburt...
ich weiss jetzt nicht genau worauf du hinaus willst mit den Gleichheits zeichen.
Ich interpretiere das jetzt so, dass ich die 1. partielle Integration mit der 2. gleich setze und dann nach [mm] \integral_{0}^{2\pi}{sin(mx)sin(nx)} [/mm] umstelle.
also so:
[mm] \bruch{m}{n}\integral_{0}^{2\pi}{cos(mx)cos(nx)} [/mm] = [mm] \bruch{m^2}{n^2} \integral_{0}^{2\pi}{sin(mx)sin(nx)}
[/mm]
[mm] \bruch{n}{m}\integral_{0}^{2\pi}{cos(mx)cos(nx)} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{2\pi}{sin(mx)sin(nx)}
[/mm]
oder ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:18 Di 26.03.2013 | | Autor: | notinX |
> Boah, schwere Geburt...
Das kann man wohl sagen...
>
> ich weiss jetzt nicht genau worauf du hinaus willst mit den
> Gleichheits zeichen.
Darauf, dass Du ne Menge Terme in der Landschaft rumstehen hast, die so völlig sinnlos sind. Ein Integral kann man ohne Gleichheitszeichen nicht lösen (und aufschreiben).
> Ich interpretiere das jetzt so, dass ich die 1. partielle
> Integration mit der 2. gleich setze und dann nach
> [mm]\integral_{0}^{2\pi}{sin(mx)sin(nx)}[/mm] umstelle.
>
> also so:
> [mm]\bruch{m}{n}\integral_{0}^{2\pi}{cos(mx)cos(nx)}[/mm] =
> [mm]\bruch{m^2}{n^2} \integral_{0}^{2\pi}{sin(mx)sin(nx)}[/mm]
>
> [mm]\bruch{n}{m}\integral_{0}^{2\pi}{cos(mx)cos(nx)}[/mm] =
> [mm]\integral_{0}^{2\pi}{sin(mx)sin(nx)}[/mm]
>
> oder ?
Nein. Es soll folgendes berechnet werden:
$ [mm] \int_0^{2\pi} \sin mx\sin nx\,\mathrm{dx}$
[/mm]
Die erste partielle Integration hast Du ja bis auf kleine Fehler schon ausgeführt. Pass auf, jetzt kommt der Trick mit dem Gleichheitszeichen:
[mm] $\int_{0}^{2\pi}\sin mx\sin nx\,\mathrm{dx}=\left[-\frac{1}{m}\cos mx\sin nx\right]_{0}^{2\pi}+\frac{n}{m}\int_{0}^{2\pi}\cos mx\cos nx\,\mathrm{dx}$
[/mm]
Jetzt steht da auf der rechten Seite wieder ein Integral welches Du wieder mit partieller Integration lösen kannst. Wenn Du das getan hast, kannst Du an die Gleichung ein weiteres Gleichheitszeichen daranhängen. Mach das mal, dann sehn wir weiter.
Gruß,
notinX
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:46 Di 26.03.2013 | | Autor: | reverend |
Hallo dproeve,
> > ich soll durch geeignete Integration zeigen, dass [mm]\forall[/mm]
> > n,m [mm]\in \IN[/mm] 0
> >
> > [mm]\integral_{0}^{2\pi}{sin(nx)*sin(mx)dx}[/mm]
> >
> > [mm]\pi[/mm] für n=m
> > und
> > 0 für [mm]n\not=m[/mm] oder n=m=0
>
> Wie wärs mit partieller Integration ?
...und das gleich zweimal hintereinander!
Grüße
reverend
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