gegenseitige Lage von Geraden < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Untersuchen Sie die gegenseitige Lage der Geraden g und l, und g und k. |
Es handelt sich hierbei um einen quadratischen Pyramidenstumpf, an (durch) dem/den verschiedene Geraden laufen.
g und l schneiden sich. Das sollen wir zeigen.
Die Geradengleichung von g lautet:
[mm] \vektor{3 \\ 0 \\ 0} [/mm] + [mm] r\vektor{1 \\ 4 \\ 5}
[/mm]
Die Geradengleichung von l lautet:
[mm] \vektor{6 \\ 3 \\ 0} [/mm] + [mm] s\vektor{-4 \\ -1 \\ 5}
[/mm]
Jetzt muss man ein Gleichungssystem aufstellen. Ich weiß nur nicht, wie und aus was überhaupt...
Die nächste Aufgabe: g und k schneiden sich nicht. Die sind glaub ich windschief.
Dazu muss man wieder ein Gleichungssystem aufstellen:
Die Geradengleichung von k lautet:
[mm] \vektor{5 \\ 5 \\ 2,5} [/mm] + [mm] t\vektor{-1 \\ -2 \\ 2,5}
[/mm]
Wie stelle ich da jetzt ein Gleichungssystem auf und aus was...??
Wäre nett wenn mir da jemand helfen könnte. DANKE!!!
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von der Geradengleichung g erhälst du sechs Gleichungen:
(P ist der gesuchte Punkt)
$P(x,y,z): [mm] \vektor{x \\ y \\ z} [/mm] = [mm] \vektor{3 \\ 0 \\ 0} [/mm] $ + $ [mm] r\vektor{1 \\ 4 \\ 5} [/mm] = [mm] \vektor{3 + r \\ 4r \\ 5r} [/mm] $
$P(x,y,z): [mm] \vektor{x \\ y \\ z} [/mm] = [mm] \vektor{6 \\ 3 \\ 0} [/mm] $ + $ [mm] s\vektor{-4 \\ -1 \\ 5} [/mm] = [mm] \vektor{6 - 4s \\ 3 - s \\ 5s}$
[/mm]
wie du siehst hast du 6 Gleichungen, aber nur 5 unbekannte. (x,y,z,r,s)
d.h. falls sich die Geraden in einem Punkt schneiden, ist das System eindeutig lösbar. (am besten du elliminierst jeweils x, y und z)
Zum Beispiel z = 5r und z = 5s [mm] \Rightarrow [/mm] 5r = 5s [mm] \Rightarrow [/mm] r = s ... usw. auch mit x und y..
Hat es viele Lösungen, sind sie wohl identisch, und hat es keine Lösungen, dann schneiden sie sich nicht.
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Ich weiß aber nicht, wie ich jetzt das gleichungssystem aufstellen soll...
Ich glaub, da haben Sie was falsch verstanden... Wir sollen ja keine Punkte berechnen, sondern die Lage der jeweiligen Geraden zueinander bestimmen.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:50 Fr 15.09.2006 | | Autor: | Bastiane |
Hallo!
Weiter unten hat jemand die Frage beantwortet. Falls es immer noch Fragen gibt, stell sie einfach dort direkt zu der Antwort.
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 06:31 Sa 16.09.2006 | | Autor: | mathwizard |
Ah mist, war schon länger her mit der Vektorrechnung ;)
Aber ich fand meine Methode immer einfacher, da weniger Variabeln auf einmal.. wie auch immer.. Danke für die Aufmerksamen Benutzer!
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zu Aufgabe eins:
schneller gehts, wenn du einfach beide Geraden gleich setzt.
Dann hast du 3 Gleichungen und zwei Unbekannte, s und r.
[mm] \vektor{3 \\ 0 \\ 0} [/mm] + [mm] r\vektor{1 \\ 4 \\ 5} [/mm] = [mm] \vektor{6 \\ 3 \\ 0} [/mm] + [mm] s\vektor{-4 \\ -1 \\ 5}
[/mm]
Dann löst du nach einem der beiden auf (egal ob s oder r)
Anmerkung: Würde es keine Lösung geben (z.B. steht am Ende 3=5 da), würden die Geraden sich nicht schneiden (windschief oder parallel);
bei einer Lösung gibt es einen Schnittpunkt (hier der Fall);
bei unendlichvielen Lösungen (z.B. wenn am Ende 2=2 steht (allgemein gültig)) sind die Geraden identisch)
Hast du einen Wert bekommen, setzt du diesen in die Geradengleichung mit der jeweiligen Unbekannten (r bzw. s) ein und kannst den Schnittpunkt so ausrechnen.
Zur Aufgabe 2:
Machs genauso wie bei eins.
g und k einfach gleichsetzten --> drei Gleichungen --> aber diesmal keine Lösung --> windschief oder parallel
K ist jedoch windschief, da der Richtungsvektor von k kein Vielfaches von dem von g ist.
Mit freundlichem Gruß
Jochen
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 10:48 Sa 16.09.2006 | | Autor: | DriftinHeart |
Ich glaub ich bin n bissel zu doof für das thema...
danke für den ansatz, aber ich weiß auch nicht wie ich daraus jetzt ein gleichungssystem aufstellen soll... *heul*
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Hallo!
[mm] \vektor{3 \\ 0 \\ 0} [/mm] + [mm] r\vektor{1 \\ 4 \\ 5} [/mm] = [mm] \vektor{6 \\ 3 \\ 0} [/mm] + [mm] s\vektor{-4 \\ -1 \\ 5} [/mm]
Das ist doch schon ein Gleichungssystem.  Lies einfach jede Zeile als eine Gleichung, dann wäre also die erste Gleichung:
$3+r=6-4s$
Kommst du jetzt weiter?
Viele Grüße
Bastiane
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