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(Frage) überfällig  | | Datum: | 19:48 Sa 05.12.2009 | | Autor: | julsch |
| Aufgabe | | Es seien X und Y unabhängige, exponentiell verteilte ZV. Bestimme die Dichte von (X. [mm] \bruch{Y}{X} [/mm] ) sowie die Dichte von [mm] \bruch{Y}{X} [/mm] . |
Hallo!
Habe zuerst die Veteilungsfunktion von [mm] \bruch{Y}{X} [/mm] und daruas dann die Dichte berechnet;
F(c)=P( [mm] \bruch{Y}{X} [/mm] < c) = P(0 [mm] \le [/mm] x < [mm] \infty [/mm] , 0 [mm] \le [/mm] y < c*x)
= [mm] \integral_{0}^{\infty}{\integral_{0}^{cx}{f(x,y) dy} dx} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{\infty}{\integral_{0}^{cx}{f(x)f(y) dy} dx} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{\infty}{\integral_{0}^{cx}{ \lambda *e^{-\lambda x} *\mu *e^{\mu y} dy} dx} [/mm] = ... = [mm] \bruch{-\lambda}{ \lambda + \mu c} [/mm] +1
Daraus folgt dann, dass die Dichte von [mm] (\bruch{Y}{X}) [/mm] f(c)=F'(c) = [mm] \bruch{\lambda \mu}{(\lambda + \mu c)^{2}} [/mm] ist.
Nun dachte ich, ich würde es mit (X, [mm] \bruch{Y}{X}) [/mm] genauso machen. Ich habe dann für die Verteilungsfunktion erhalten F(X, [mm] \bruch{Y}{X} [/mm] ) = [mm] \bruch{\lambda}{\lambda + \mu c} [/mm] * [mm] e^{-(\lambda + \mu c) d} [/mm] - [mm] e^{-\lambda d} [/mm] - [mm] \bruch{\lambda}{\lambda + \mu c} [/mm] +1
Wie komme ich jetzt zu der Dichtefunktion? Dachte eigentlich einfach ableiten, nur dann bekomm ich ja einen Vektor raus.
LG und Danke im Vorraus!
Julsch
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(Frage) überfällig | | Datum: | 22:52 Sa 05.12.2009 | | Autor: | julsch |
Habe versucht die Dichte von (X, [mm] \bruch{Y}{X}) [/mm] mit der Transfprmationsformel zu lösen. Weiß nicht ob es stimmt:
setzte Z= [mm] (Z_{1} [/mm] , [mm] Z_{2}) [/mm] = u(X ,Y) =(X, [mm] \bruch{Y}{X} [/mm] )
[mm] f_{z} (z_{1}, z_{2}) [/mm] = [mm] f_{x,y}(u^{-1}(z_{1}, z_{2})) [/mm] *|det [mm] J_{u^{-1}(z_{1}, z_{2})}|
[/mm]
[mm] =f_{x,y}(X,Y) [/mm] * | det [mm] \pmat{1 & 0 \\ 0 & x } [/mm] |
[mm] =\lambda e^{-\lambda x} \mu e^{-\mu y} [/mm] *x [mm] 1_{[0, \infty)}(x) 1_{[0, \infty)}(y)
[/mm]
Wie würde ich aber von da aus auf die Dichte von [mm] \bruch{Y}{X} [/mm] kommen?
Stimmt es so überhaupt?
LG Julsch
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:20 Mo 07.12.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:20 Mo 07.12.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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