geometrische Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:03 Mo 15.04.2013 | | Autor: | Sam90 |
| Aufgabe | | Transformieren Sie die geometrische Reihe [mm] \summe_{k=0}^{\infty} x^{k} [/mm] auf den Mittelpunkt [mm] x_{1}=-\bruch{1}{2} [/mm] und ermitteln Sie den Konvergenzradius der transformierten Reihe. |
Hallo :)
Mein Dozent hat den Tipp gegeben, dass es hilft, [mm] \bruch{1}{(1-x)^{k+1}}=\summe_{n=0}^{\infty} \vektor{n+k \\ n} x^{n} [/mm] für |x|<1, [mm] k\in \IN [/mm] zu zeigen, aber irgendwie bringt mir das nicht so viel.
Es wäre wirklich toll, wenn mir jemand bei der Aufgabe helfen könnte.
LG Sam
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:01 Di 16.04.2013 | | Autor: | fred97 |
Es ist doch für |x|<1:
$ [mm] \summe_{k=0}^{\infty} x^{k}=\bruch{1}{1-x} [/mm] $
Finde Zahlen a,b mit:
[mm] \bruch{1}{1-x}=\bruch{a}{1-b(x-1/2)}
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:56 Di 16.04.2013 | | Autor: | Sam90 |
Okay, so ganz verstehe ich jetzt nicht, wie man auf [mm] \bruch{1}{1-x}=\bruch{a}{1-b(x-1/2)} [/mm] kommt, deshalb hab ich das mal bei Wolfram Alpha eingegeben und da wird mir gesagt, dass a=2 und b=2 passt. Wie genau muss ich denn vorgehen?
LG
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Hallo Sam90,
> Okay, so ganz verstehe ich jetzt nicht, wie man auf
> [mm]\bruch{1}{1-x}=\bruch{a}{1-b(x-1/2)}[/mm] kommt,
Na, du willst ja nachher eine Reihe der Form [mm] $\sum\limits_{k\ge 0}M(k)\cdot{}(x-1/2)^k$ [/mm] haben ...
> deshalb hab ich
> das mal bei Wolfram Alpha eingegeben und da wird mir
> gesagt, dass a=2 und b=2 passt. Wie genau muss ich denn
> vorgehen?
Das kannst du seit der Schulzeit, dazu brauchst du keinen Wolfram oder Gerhard ...
Erweitern und Koeffizientenvergleich ...
[mm] $\frac{1}{1-x}=\frac{a}{1-b(x-1/2)}$
[/mm]
[mm] $\gdw \frac{1-b(x-1/2)}{(1-x)(1-b(x-1/2))}=\frac{1-x}{(1-x)(1-b(x-1/2))}$
[/mm]
Nun in den Zählern nach Termen mit und ohne x sortieren und einen Koeffizientenvergleich machen ...
> LG
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:29 Di 16.04.2013 | | Autor: | Sam90 |
Danke für die Antwort, aber wo ist jetzt das a hin?
lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:56 Mi 17.04.2013 | | Autor: | Helbig |
> Danke für die Antwort, aber wo ist jetzt das a hin?
>
> lg
Das ist vergessen worden!
Gruß,
Wolfgang
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:51 Di 16.04.2013 | | Autor: | Sam90 |
Also ich habe jetzt Folgendes:
[mm] \frac{1}{1-x}=\frac{a}{1-b(x-\bruch{1}{2})}
[/mm]
[mm] \gdw \frac{1-b(x-\bruch{1}{2})}{(1-x)(1-b(x-\bruch{1}{2}))}=\frac{(1-x)a}{(1-x)(1-b(x-\bruch{1}{2}))}
[/mm]
[mm] \gdw \frac{1-bx+\bruch{1}{2}b}{(1-x)(1-b(x-\bruch{1}{2}))}=\frac{a-ax}{(1-x)(1-b(x-\bruch{1}{2}))}
[/mm]
Koeffizientenvergleich ergibt dann a=2 und b=2, da [mm] \frac{1-2x+\bruch{1}{2}2}{(1-x)(1-2(x-\bruch{1}{2}))}=\frac{2-2x}{(1-x)(1-2(x-\bruch{1}{2}))}
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{2-2x}{(1-x)(2-2x)}=\bruch{2-2x}{(1-x)(2-2x)}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{1-x}
[/mm]
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:39 Mi 17.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Also ich habe jetzt Folgendes:
> [mm]\frac{1}{1-x}=\frac{a}{1-b(x-\bruch{1}{2})}[/mm]
> [mm]\gdw \frac{1-b(x-\bruch{1}{2})}{(1-x)(1-b(x-\bruch{1}{2}))}=\frac{(1-x)a}{(1-x)(1-b(x-\bruch{1}{2}))}[/mm]
>
> [mm]\gdw \frac{1-bx+\bruch{1}{2}b}{(1-x)(1-b(x-\bruch{1}{2}))}=\frac{a-ax}{(1-x)(1-b(x-\bruch{1}{2}))}[/mm]
>
> Koeffizientenvergleich ergibt dann a=2 und b=2, da
> [mm]\frac{1-2x+\bruch{1}{2}2}{(1-x)(1-2(x-\bruch{1}{2}))}=\frac{2-2x}{(1-x)(1-2(x-\bruch{1}{2}))}[/mm]
> [mm]\gdw \bruch{2-2x}{(1-x)(2-2x)}=\bruch{2-2x}{(1-x)(2-2x)}[/mm]
>
> = [mm]\bruch{1}{1-x}[/mm]
könnte passen - aber wie gesagt: Der Ansatz von Fred würde auf den
Mittelpunkt [mm] $x_1=1/2$ [/mm] führen. Passe ihn so an, dass er auf den Mittelpunkt
[mm] $x_1=\red{\;-\;}1/2$ [/mm] führt - welche Werte dann für [mm] $a\,$ [/mm] und [mm] $b\,$ [/mm] rauskommen sollten,
kannst Du meiner Mitteilung an Fred hier entnehmen! (Insbesondere auch
eine "schnellere Berechnungsmethode" für diesen Fall!)
Nebenbei: Ich würde hier direkt die Brüche beseitigen: [mm] $\frac{1}{1-x}=\frac{a}{1-b(x\red{\;+\;}\bruch{1}{2})}$
[/mm]
also mit [mm] $(1-x)*\left(1-b(x\red{\;+\;}\tfrac{1}{2})\right)$ [/mm] durchmultiplizieren.
Am Ende dann benutzen, dass eine Polynomfunktion $x [mm] \mapsto \sum_{k=0}^n a_k x^k$ [/mm] genau dann
die Nullfunktion ist, wenn alle [mm] $a_k=0$ [/mm] sind! (Das Gleiche macht man im
Prinzip beim Koeffizientenvergleich - und der tatsächliche Ursprung davon
liegt in der Nullstellenanzahl einer Polynomfunktion!)
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:00 Mi 17.04.2013 | | Autor: | Sam90 |
Okay 1000 Dank! Ich habe, jetzt (wie auch schon deine Mitteilung an Fred zeigt) für a und b jeweils 2/3 raus. Bin ich denn dann jetzt fertig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:24 Mi 17.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Okay 1000 Dank! Ich habe, jetzt (wie auch schon deine
> Mitteilung an Fred zeigt) für a und b jeweils 2/3 raus.
> Bin ich denn dann jetzt fertig?
nein, Du weißt jetzt
[mm] $$\frac{1}{1-x}=\frac{2}{3}*\frac{1}{1-\tfrac{2}{3}(1+\tfrac{1}{2})}\,.$$
[/mm]
Substituiere mal [mm] $z:=\tfrac{2}{3}(1+\tfrac{1}{2})$ [/mm] und jetzt schreibe
[mm] $$\frac{2}{3}*\frac{1}{1-z}$$
[/mm]
wieder um vermittels [mm] $\frac{1}{1-z}=\sum_{n=0}^\infty z^n\,,$ [/mm] resubstituiere in der Reihe rechts
[mm] $z=\tfrac{2}{3}(1+\tfrac{1}{2})\,,$ [/mm] bedenke, dass Du die [mm] $\tfrac{2}{3}$ [/mm] in die Summe ziehen darfst (damit meine
ich, dass [mm] $\tfrac{2}{3}*\tfrac{1}{1-z}=\tfrac{2}{3}*\sum_{n=0}^\infty z^n=\sum_{n=0}^\infty \tfrac{2}{3}*z^n$ [/mm] gilt!)
und versuche dann, die gesuchten Koeffizienten abzulesen!
(Beachte, dass Du eine Reihe der Form [mm] $\sum_{n=0}^\infty a_n*\underbrace{\;\;(x+\tfrac{1}{2})^n\;\;}_{=\left(x-(-\frac{1}{2})\right)^n}$ [/mm] dort stehen
haben willst - die [mm] $a_n$ [/mm] suchst Du dabei!) Wenn ich mich dabei nicht
verrechnet habe: [mm] $a_n=(\tfrac{2}{3})^{n+1}\,$ [/mm] wird für alle $n [mm] \in \IN_0$ [/mm] rauskommen!
P.S. Zudem hattest Du ja auch noch die Aufgabe, den Konvergenzradius
der letzten Reihe zu berechnen!
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:27 Mi 17.04.2013 | | Autor: | Sam90 |
Also bis dahin bin ich jetzt auch gekommen ;) Den Konvergenzradius kann ich doch jetzt mit der Formel von Cauchy-Hadamard berechen, also mit [mm] r=\bruch{1}{\limes_{n\rightarrow\infty}sup (\wurzel[n]{|a_n|})}, [/mm] oder geht das hier auch einfacher?
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:53 Mi 17.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Also bis dahin bin ich jetzt auch gekommen ;)
Du darfst auch ruhig vorrechnen, denn dann kann
man eher sehen, ob da nicht doch irgendwas falsch ist...
> Den
> Konvergenzradius kann ich doch jetzt mit der Formel von
> Cauchy-Hadamard berechen, also mit
> [mm]r=\bruch{1}{\limes_{n\rightarrow\infty}sup (\wurzel[n]{|a_n|})},[/mm]
> oder geht das hier auch einfacher?
Das ist doch hier einfach: Wenn ein Limes existiert, dann stimmt er
mit dem Limsup und Liminf überein (![[]](/images/popup.gif) Satz 5.21 (klick!)). Daher
brauchst Du hier "nur"
[mm] $$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{(2/3)^{n+1}}$$
[/mm]
zu berechnen - das ist ziemlich trivial unter Beachtung von [mm] $\sqrt[n]{a} \to [/mm] 1$
($n [mm] \to \infty$) [/mm] für jedes $a > [mm] 0\,$ [/mm] (es gilt ja sogar [mm] $\sqrt[n]{n} \to [/mm] 1$!) - und davon
natürlich dann den Kehwert nehmen.
(Nebenbei: Schreibe besser $\limsup$ anstatt $\limes sup$.)
Ansonsten kannst Du gerne auch mal hier (klick!) lesen, da habe ich
einiges dazu geschrieben. Es gibt etwa auch eine Möglichkeit, mit
Quotienten zu arbeiten. Und ein wenig nachdenken zeigt hier, dass Du hier(!) auch
[mm] $r=\frac{1}{\lim_{n \to \infty} |a_{n+1}/a_n|}$
[/mm]
rechnen könntest - das ist natürlich dann (fast) noch einfacher...
(Es ist aber dann eigentlich zu begründen, warum das hier so funktioniert!)
Aber prinzipiell ist beides eigentlich gleich einfach (und beide liefern auch das
gleiche Ergebnis)...
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:08 Mi 17.04.2013 | | Autor: | Sam90 |
Ich würde sagen, das wäre dann [mm] \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{(2/3)^{n+1}}=2/3.
[/mm]
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:21 Mi 17.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ich würde sagen, das wäre dann [mm]\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{(2/3)^{n+1}}=2/3.[/mm]
und was ist nun der Konvergenzradius? (Lies nochmal meine Antwort - da
steht was von Kehrwert, oder war Dir das klar und Du hast es hier nur nicht
zu Ende geschrieben?)
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:03 Mi 17.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo nochmal,
wenn wir hier mal alles zusammennehmen:
Was ist dann
[mm] $$\sum_{k=n}^{\infty}{k \choose n}\cdot{}(-\tfrac{1}{2})^{k-n} \text{ ?}$$
[/mm]
(Erinnerung (klick!))
P.S. Mich würde mal interessieren, wie Euer Dozent seinen Hinweis bei
seiner Lösung verbraten hat ^^
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:22 Mi 17.04.2013 | | Autor: | Sam90 |
Naja [mm] \sum_{k=n}^{\infty}{k \choose n}\cdot{}(-\tfrac{1}{2})^{k-n} [/mm] ist ja unser [mm] a_{n}, [/mm] was wir für den Konvergenzradius benötigen.
Also [mm] \sum_{k=n}^{\infty}{k \choose n}\cdot{}(-\tfrac{1}{2})^{k-n}=( \frac{3}{2})^{-n-1}.
[/mm]
Zum Kehrwert: Der Kehrwert von 2/3 ist ja natürlich 3/2 bzw 1,5 ;)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:42 Mi 17.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Naja [mm]\sum_{k=n}^{\infty}{k \choose n}\cdot{}(-\tfrac{1}{2})^{k-n}[/mm]
> ist ja unser [mm]a_{n},[/mm] was wir für den Konvergenzradius
> benötigen.
> Also [mm]\sum_{k=n}^{\infty}{k \choose n}\cdot{}(-\tfrac{1}{2})^{k-n}=( \frac{3}{2})^{-n-1}}.[/mm]
na, schreib' das doch lieber direkt als [mm] $=\left(\frac{2}{3}\right)^{n+1}$!
[/mm]
Ich halte diese Gleichheit aber nicht für offensichtlich! (Ehrlich gesagt sehe
ich momentan auch keine andere Begründung für sie - jemand anderes
vielleicht? Am Schönsten wäre natürlich eine einfacherere...)
> Zum Kehrwert: Der Kehrwert von 2/3 ist ja natürlich 3/2
> bzw 1,5 ;)
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Und das ist natürlich dann der gesuchte Konvergenzradius!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:27 Di 07.05.2013 | | Autor: | Sam90 |
Ganz vergessen mich zu bedanken, also: 1000 Dank für die tolle Hilfe! :)
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| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 23:01 Di 16.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Schachu,
> Hallo Sam90,
>
>
> > Okay, so ganz verstehe ich jetzt nicht, wie man auf
> > [mm]\bruch{1}{1-x}=\bruch{a}{1-b(x-1/2)}[/mm] kommt,
>
> Na, du willst ja nachher eine Reihe der Form
> [mm]\sum\limits_{k\ge 0}M(k)\cdot{}(x-1/2)^k[/mm] haben ...
die Reihe sollte auf den Mittelpunkt [mm] $-\,1/2\,,$ [/mm] nicht [mm] $+1/2\,$ [/mm] transformiert werden.
War aber vielleicht auch nur ein Verschreiber Deinerseits...
Gruß,
Marcel
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Hi Marcel,
> Hallo Schachu,
>
> > Hallo Sam90,
> >
> >
> > > Okay, so ganz verstehe ich jetzt nicht, wie man auf
> > > [mm]\bruch{1}{1-x}=\bruch{a}{1-b(x-1/2)}[/mm] kommt,
> >
> > Na, du willst ja nachher eine Reihe der Form
> > [mm]\sum\limits_{k\ge 0}M(k)\cdot{}(x-1/2)^k[/mm] haben ...
>
> die Reihe sollte auf den Mittelpunkt [mm]-\,1/2\,,[/mm] nicht [mm]+1/2\,[/mm]
> transformiert werden.
> War aber vielleicht auch nur ein Verschreiber
> Deinerseits...
Ganz ehrlich habe ich nicht genau genug gelesen und den Term [mm]\bruch{a}{1-b(x-1/2)}[/mm] von Fred übernommen 
Danke für deine Aufmerksamkeit!
>
> Gruß,
> Marcel
LG
schachuzipus
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| Status: |
(Korrektur) oberflächlich richtig  | | Datum: | 11:58 Mi 17.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hi Schachu,
> Hi Marcel,
>
>
> > Hallo Schachu,
> >
> > > Hallo Sam90,
> > >
> > >
> > > > Okay, so ganz verstehe ich jetzt nicht, wie man auf
> > > > [mm]\bruch{1}{1-x}=\bruch{a}{1-b(x-1/2)}[/mm] kommt,
> > >
> > > Na, du willst ja nachher eine Reihe der Form
> > > [mm]\sum\limits_{k\ge 0}M(k)\cdot{}(x-1/2)^k[/mm] haben ...
> >
> > die Reihe sollte auf den Mittelpunkt [mm]-\,1/2\,,[/mm] nicht
> [mm]+1/2\,[/mm]
> > transformiert werden.
> > War aber vielleicht auch nur ein Verschreiber
> > Deinerseits...
>
> Ganz ehrlich habe ich nicht genau genug gelesen und den
> Term [mm]\bruch{a}{1-b(x-1/2)}[/mm] von Fred übernommen
ja, dachte ich mir, als ich später gelesen hatte, dass das auch bei Fred
falsch steht ^^ (Auch nur ein Verleser seinerseits, da bin ich sicher!)
Hauptsache, wir haben's nun richtig.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:44 Di 16.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Fred,
> Es ist doch für |x|<1:
>
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty} x^{k}=\bruch{1}{1-x}[/mm]
>
>
> Finde Zahlen a,b mit:
>
> [mm]\bruch{1}{1-x}=\bruch{a}{1-b(x-1/2)}[/mm]
kann man das nicht so motivieren (der Mittelpunkt sollte doch übrigens [mm] $\red{-}\;\tfrac{1}{2}$ [/mm]
und nicht [mm] $\red{+}\;\tfrac{1}{2}$ [/mm] werden - d.h. im Nenner sollte bei Dir [mm] $x+\tfrac{1}{2}$ [/mm] afutauchen?!):
[mm] $$\frac{1}{1-x}=\frac{1}{1-(x+\tfrac{1}{2})-\tfrac{1}{2}}=\frac{\tfrac{2}{3}}{1-\tfrac{2}{3}(x+\tfrac{1}{2})}=\frac{2}{3}*\frac{1}{1-\tfrac{2}{3}(x+\tfrac{1}{2})}\,.$$
[/mm]
Denn ich würde mich zuerst mal fragen, wieso ich diesen Ansatz wählen
sollte bzw. wählen darf. (Wobei ich die "Motivation" hier schon speziell auf
die Aufgabe übertragen und damit alles vorgerechnet habe, was Du
wissen wolltest ^^)
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:33 Di 16.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Sam,
> Transformieren Sie die geometrische Reihe
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty} x^{k}[/mm] auf den Mittelpunkt
> [mm]x_{1}=-\bruch{1}{2}[/mm] und ermitteln Sie den Konvergenzradius
> der transformierten Reihe.
> Hallo :)
>
> Mein Dozent hat den Tipp gegeben, dass es hilft,
> [mm]\bruch{1}{(1-x)^{k+1}}=\summe_{n=0}^{\infty} \vektor{n+k \\ n} x^{n}[/mm]
> für |x|<1, [mm]k\in \IN[/mm] zu zeigen, aber irgendwie bringt mir
> das nicht so viel.
> Es wäre wirklich toll, wenn mir jemand bei der Aufgabe
> helfen könnte.
[mm] $$\sum_{k=0}^\infty x^k=\sum_{n=0}^\infty ((x+\tfrac{1}{2})-\tfrac{1}{2})^n=\sum_{n=0}^\infty \sum_{k=0}^n [/mm] {n [mm] \choose [/mm] k} [mm] (x+\tfrac{1}{2})^k *(-\tfrac{1}{2})^{n-k}\red{\;=\;}\sum_{n=0}^\infty \left((x+\tfrac{1}{2})^n*\underbrace{\sum_{k=n}^{\infty}{k \choose n}*(-\tfrac{1}{2})^{k-n}}_{=:a_n}\right)\,,$$
[/mm]
wobei [mm] $a_n \not=a_n(x)\,,$ [/mm] also [mm] $x\,$-unabhängig [/mm] sind. Bei [mm] $\red{\;=\;}$ [/mm] ist aber etwas passiert
- nämlich eine "Umsortierung der Summandenreihenfolge". Diese ist zu
begründen. (Ich hoffe mal, dass ich da keinen Rechenfehler eingebaut
habe!) Danach kannst Du Dich noch über die [mm] $a_n$ [/mm] hermachen!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:44 Di 16.04.2013 | | Autor: | Sam90 |
Danke für die Antwort Marcel!
Kann das mit der "Umsortierung der Summandenreihenfolge" eventuell daher kommen, dass [mm] \vektor{n \\ k}=0 [/mm] für n<k gilt?
Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:56 Di 16.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hi Sam,
> Danke für die Antwort Marcel!
>
> Kann das mit der "Umsortierung der Summandenreihenfolge"
> eventuell daher kommen, dass [mm]\vektor{n \\ k}=0[/mm] für n<k
> gilt?
nein! Benutze etwa Satz 6.24. Allgemein gibt's den Begriff der "summierbaren
Familie", aber das ist hier vielleicht ein wenig zu viel des Guten!
P.S. Nachfrage: Soll der Mittelpunkt [mm] $x_1=\red{\;-\;}1/2\,,$ [/mm] oder [mm] $+1/2\,$ [/mm] werden - denn
die bisherigen Antworten von Fred und Schachu bezogen sich auf den
Mittelpunkt [mm] $\red{+\;}1/2$!
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:01 Mi 17.04.2013 | | Autor: | Sam90 |
Ok ich dachte mir schon, dass das Unsinn gewesen ist, was ich geschrieben hab ;)
In der Aufgabe geht es um den Mittelpunkt [mm] x_1=\red{\;-\;}\bruch{1}{2}\,.
[/mm]
Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:35 Mi 17.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ok ich dachte mir schon, dass das Unsinn gewesen ist, was
> ich geschrieben hab ;)
> In der Aufgabe geht es um den Mittelpunkt
> [mm]x_1=\red{\;-\;}\bruch{1}{2}\,.[/mm]
dann kannst Du auch Freds Ansatz hernehmen, allerdings musst Du dann
im Nenner [mm] "$(x+1/2)\,$" [/mm] (weil [mm] $x-(-1/2)=x+1/2\,$ [/mm] ist!) an die Stelle schreiben,
wo Fred [mm] $(x-1/2)\,$ [/mm] geschrieben hat. Korrekturhinweise dazu habe ich aber an
den entsprechenden Stellen auch schon gegeben! Ich weiß nicht, ob mein
Ansatz hier einfacher ist (er wäre aber der "allgemeinere Ansatz" (siehe
auch hier!), um den Mittelpunkt von [mm] $0\,$ [/mm] zu [mm] $z_0$ [/mm] zu transformieren) - er sieht mir
eher komplizierter aus! Allgemein würde man so anfangen zu rechnen:
[mm] $$\sum_{n=0}^\infty a_n z^n=\sum_{n=0}^\infty a_n ((z-z_0)+z_0)^n=\sum_{n=0}^\infty a_n*\sum_{k=0}^n [/mm] {n [mm] \choose k}{z_0}^k*(z-z_0)^{n-k}\red{\;=\;}...$$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:53 Di 16.04.2013 | | Autor: | Sam90 |
Oder kann ich einfach schreiben, dass das laut Umordnungssatz bzw. Doppelreihensatz gilt?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:21 Mi 17.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Oder kann ich einfach schreiben, dass das laut
> Umordnungssatz bzw. Doppelreihensatz gilt?
wenn Du das ordentlich begründest, warum Du sowas anwenden darfst
(kannst Du Eure Formulierung davon verlinken oder abschreiben?), dann
geht das natürlich.
Aber am einfachsten: Bei absolut konvergenten Reihen dürfen wir
umordnen. Ist jetzt die Frage, für welche [mm] $x\,$ [/mm] wir die Reihe so umordnen
dürfen. Aber auch da kannst Du Dir ja mal ein paar Gedanken machen, und
auch, wie Du "mit der Darstellung im Schnitt zweier offener
Konvergenzkreisscheiben" hier auf eine Darstellung dann auf der ganzen
zugehörigen offenen Konvergenzkreisscheibe schließen kannst!
Kennst Du vielleicht auch schon den Begriff "Analytische Funktion"? In dem
Zusammenhang gibt's sowas wie den "Identitätssatz"! Sowas könnte man dann hier
anwenden (Satz 29.11), um ggf. "zu begründen, dass die Reihendarstellung, die wir
"in einem 'kleinen Bereich' so finden" auch schon innerhalb der ganzen
offenen Konvergenzkreisscheibe gelten muss"!
P.S. In [mm] $\IR$ [/mm] sind "offene Konvergenzkreisscheiben" einfach "offene
Intervalle". Der zitierte Identitätssatz gilt auch für [mm] $\IK=\IR\,.$ [/mm] Und eine
Formulierung, die Dir vielleicht besser gefällt, alleine schon, weil in dem
Inhalt "Koeffizienten der Potenzreihe" drin vorkommen, findest Du in Heuser,
Analysis I $\to$ Identitätssatz für Potenzreihen!
Schau' meinetwegen diesbezüglich auch mal hier, Seite 17ff. rein...
Gruß,
Marcel
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