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Forum "Lineare Algebra - Eigenwerte" - geometrische VFH
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geometrische VFH: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:40 Mi 16.03.2011
Autor: David90

Aufgabe
Klausurvorbereitung

Hallo, ich wollte mal fragen wie man auf die geometrische Vielfachheit kommt. Da häng ich grad iwie bei den Klausuraufgaben :O
Gruß David

        
Bezug
geometrische VFH: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:42 Mi 16.03.2011
Autor: steppenhahn

Hallo!

>  Hallo, ich wollte mal fragen wie man auf die geometrische
> Vielfachheit kommt. Da häng ich grad iwie bei den
> Klausuraufgaben :O

Die geometrische Vielfachheit eines Eigenwerts ist die Dimension des zugehörigen Eigenraumes.
In Formeln: Ist $A$ die Matrix, von der wir reden, und [mm] $\lambda$ [/mm] ein Eigenwert von $A$, dann ist die geometrische Vielfachheit [mm] $\mu_{geo}(\lambda)$ [/mm] des Eigenwerts:

[mm] $\mu_{geo}(\lambda) [/mm] = dim(Kern(A - [mm] \lambda [/mm] E))$

Viele Grüße,
Stefan

Bezug
                
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geometrische VFH: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:53 Mi 16.03.2011
Autor: David90

mmhhh will mir noch nicht ganz einleuchten xD Also sagen wir mal wir haben die Matrix A := [mm] \pmat{ 5 & -3 & 3 \\ 0 & -1 & 0 \\ -10 & 5 & -6 } [/mm] Der Kern von A ist span { [mm] \vektor{-\bruch{3}{5} \\ 0 \\ 1} [/mm] } und das charakteristische Polynom ist -1(z+1)^2z also die EW's: [mm] z_{1/2}=-1 [/mm] und [mm] z_{3}=0 [/mm] (Ergebnisse müssen nicht nachgepfüft werden, die stimmen ;)) Wie kommt man denn jetzt auf die geometrische VFH?
Gruß David

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geometrische VFH: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:59 Mi 16.03.2011
Autor: kamaleonti

Hallo David,
> mmhhh will mir noch nicht ganz einleuchten xD Also sagen
> wir mal wir haben die Matrix A [mm] :=\pmat{ 5 & -3 & 3 \\ 0 & -1 & 0 \\ -10 & 5 & -6 } [/mm]
> Der Kern von A ist span { [mm] \vektor{-\bruch{3}{5} \\ 0 \\ 1} [/mm] } und das charakteristische Polynom ist -1(z+1)^2z also die
> EW's: [mm]z_{1/2}=-1[/mm] und [mm]z_{3}=0[/mm] (Ergebnisse müssen nicht
> nachgepfüft werden, die stimmen ;)) Wie kommt man denn
> jetzt auf die geometrische VFH?

Der Eigenraum zu einem Eigenwert [mm] \lambda [/mm] ist der Nullraum der Matrix [mm] $A-\lambda [/mm] E$. Bestimme von diesem eine Basis. Die geometrische VFH ist die Länge dieser Basis.
Es gilt immer geometrische VFH [mm] \leq [/mm] algebraische VFH.

>  Gruß David

Gruß

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geometrische VFH: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:06 Mi 16.03.2011
Autor: David90

der Nullraum der Matrix [mm] A-\lambda [/mm] E Was meinst du denn damit?:(
Gruß David

Bezug
                                        
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geometrische VFH: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:08 Mi 16.03.2011
Autor: kamaleonti


> der Nullraum der Matrix [mm]A-\lambda[/mm] E Was meinst du denn  damit?:(

Nullraum = Kern

>  Gruß David

Gruß

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Bezug
geometrische VFH: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:16 Mi 16.03.2011
Autor: David90

Also sind wir wieder bei dim(Kern(A - [mm] \lambda [/mm] E)) = geometrische VFH. Das ist ja das was Stefan gepostet hat und das hab ich ja nich verstanden...hab gehofft, dass mir das jemand schnell an dem Bsp. erklären kann :O
Gruß David

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geometrische VFH: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:57 Mi 16.03.2011
Autor: kamaleonti


> Also sind wir wieder bei dim(Kern(A - [mm]\lambda[/mm] E)) =
> geometrische VFH. Das ist ja das was Stefan gepostet hat
> und das hab ich ja nich verstanden...hab gehofft, dass mir
> das jemand schnell an dem Bsp. erklären kann :O
>  Gruß David

Rechne doch selbst einmal vor, wie du eine Basis von Kern(A - [mm]\lambda[/mm] E) für den Eigenwert [mm] \lambda=-1 [/mm] findest. Dann sehen wir, wo das Problem ist. Die Basis eines Kerns hast du ja bereits einmal bestimmt. Und dass die Länge der Basis des Nullraums=Kerns von A-[mm]\lambda[/mm]E die geometrische VFH zum EW [mm] \lambda [/mm] ist, wurde dir nun oft genug mitgeteilt.

Gruß

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geometrische VFH: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:42 Fr 18.03.2011
Autor: David90

vorher noch eine Frage..wenn man den Eigenwert 0 hat, ist der dazugehörige Eigenvektor immer der Vektor im Kern bzw. bei mehreren Eigenvektoren 0, die Vektoren im Kern?
Gruß David

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geometrische VFH: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:11 Fr 18.03.2011
Autor: steppenhahn

Hallo,

Die allgemeine Gleichung für Eigenwerte (Matrix A, Eigenwert [mm] \lambda, [/mm] Eigenvektor x) lautet: $Ax = [mm] \lambda [/mm] * x$.

Wenn [mm] $\lambda [/mm] = 0$, steht da $Ax = 0*x = 0$.
Das heißt die Vektoren zum Eigenwert 0 sind gerade die, die im Kern liegen.

Viele Grüße,
Stefan

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