geometrische Verteilung (?) < Statistik (Anwend.) < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:39 Mi 14.01.2009 | | Autor: | barsch |
| Aufgabe | Auf dem Jahrmarkt. Der Verkäufer von Losen behauptet, jedes hundertste Los sei ein Hauptgewinn, die Wahrscheinlichkeit für eine Niete demnach q=0,99.
Man misstraut dem Verkäufer und entschließt sich für den folgenden Test:
Es wird mit Zurücklegen solange gezogen, bis der erste Hauptgewinn gezogen wird.
Bei wie viel aufeinanderfolgenden Nieten würden wir an der Ehrlichkeit des Verkäufers zweifeln, wenn ein Fehler 1. Art von 5% akzeptiert wird? |
Hallo,
wieder eine dieser unbeliebten Stochastik-/Statistik-Aufgaben.
Erst einmal dachte ich mir, hier liegt doch eine geometrische Verteilung vor. Heißt: Die Wahrscheinlichkeit im k-ten Zug einen Hauptgewinn zu ziehen, beträgt:
[mm] P(X=k)=0,99^{k-1}*(1-0,99)
[/mm]
Wir ziehen ja (k-1)-mal eine Niete - je mit Wkt. 0,99 da wir Zurücklegen (!) - und einmal einen Hauptgewinn (Wkt. 1-0,99)!
Bei wie viel aufeinanderfolgenden Nieten würden wir an der Ehrlichkeit des Verkäufers zweifeln, wenn ein Fehler 1. Art von 5% akzeptiert wird?
Fehler 1. Art bedeutet doch (?): Wir verwerfen irrtümlich unsere Hypothese q=0,99 für eine Niete.
Sei [mm] r_1 [/mm] der [mm] r_1-te [/mm] Zug an dem "ein Hauptgewinn nach dem Anderen" gezogen wird.
Habe gerade gemerkt, dass der folgende Ansatz hinten und vorne nicht stimmt. U.a. habe ich mich auch bei der geometrischen Reihe ein wenig vertan ![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]")
Dann dachte ich mir, muss ich doch
[mm] \summe_{k=r_1}^{n}P(X=k)=0,05 [/mm] berechen?
Das habe ich zumindest versucht:
[mm] \summe_{k=r_1}^{n}P(X=k)=\summe_{k=r_1}^{n}0,99^{k-1}*(1-0,99)=(1-0,99)*\summe_{k=r_1}^{n}0,99^{k-1}=\bruch{(1-0,99)}{0,99}*\summe_{k=r_1}^{n}0,99^{k}=\bruch{(1-0,99)}{0,99}*\summe_{k=0}^{n-r_1}0,99^{k+r_1}
[/mm]
[mm] =\bruch{(1-0,99)}{0,99}*0,99^{r_1}*\summe_{k=0}^{n-r_1}0,99^{k}
[/mm]
geometrische Reihe:
[mm] =\bruch{(1-0,99)}{0,99}*0,99^{r_1}*\bruch{(1-0,99^{n-r_1})}{1-0,99}
[/mm]
[mm] =0,99^{r_1-1}*(1-0,99^{n-r_1})
[/mm]
[mm] =0,99^{r_1-1}*0,99^{n-r_1+r_1-1}
[/mm]
[mm] =0,99^{r_1-1}*0,99^{n-1}=0,05
[/mm]
Jetzt habe ich jedoch zwei unbekannte, nämlich n und [mm] r_1.
[/mm]
Vielleicht war das doch nicht der richtige Ansatz?
[mm] \red{\text{Fällt euch vielleicht etwas ein? Wie heißt es so schön in Zeiten unter der Rubrik 'Autoanzeigen': ALLES ANBIETEN}} [/mm] In diesem Sinne 
MfG barsch
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:15 Mi 14.01.2009 | | Autor: | luis52 |
Moin barsch,
> wieder eine dieser unbeliebten
> Stochastik-/Statistik-Aufgaben.
Nana, bitte nicht mit solch demotivierenden
Aeusserungen beginnen :-(
>
> Erst einmal dachte ich mir, hier liegt doch eine
> geometrische Verteilung vor. Heißt: Die Wahrscheinlichkeit
> im k-ten Zug einen Hauptgewinn zu ziehen, beträgt:
>
> [mm]P(X=k)=0,99^{k-1}*(1-0,99)[/mm]
>
> Wir ziehen ja (k-1)-mal eine Niete - je mit Wkt. 0,99 da
> wir Zurücklegen (!) - und einmal einen Hauptgewinn (Wkt.
> 1-0,99)!
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Um uns von den laestigen 0.05, 0.01 bzw 0.99 zu loesen, arbeiten wir mal mit [mm] $\alpha(=0.05)$, [/mm] $p$ und $q=1-p$.
Wir bestimmen mal zunaechst die Verteilungsfunktion von X: Fuer
[mm] k=1,2,3,\dots [/mm] ist
[mm] $P(X\le k)=p\sum_{i=1}^kq^{i-1}=1-q^k$.
[/mm]
>
>
> Bei wie viel aufeinanderfolgenden Nieten würden wir an der
> Ehrlichkeit des Verkäufers zweifeln, wenn ein Fehler 1. Art
> von 5% akzeptiert wird?
>
> Fehler 1. Art bedeutet doch (?): Wir verwerfen irrtümlich
> unsere Hypothese q=0,99 für eine Niete.
Wir verwerfen [mm] $q=0.99=q_0$, [/mm] wenn wir zu lange auf den Hauptgewinn warten
muessen. Was heisst zu lange? Eine Anzahl von Versuchen [mm] $k_0$. [/mm] Den Fehler
1. Art begehen wir, wenn [mm] $(X>k_0)$ [/mm] eintritt, obwohl [mm] $q=q_0$. [/mm] Wir
benoetigen mehr als [mm] $k_0$ [/mm] Zuege mit der Wahrscheinlichkeit
[mm] $P(X>k_0)=1-P(X\le k_0)=q^{k_0}$.
[/mm]
[mm] $k_0$ [/mm] ist so zu bestimmen, dass gilt [mm] $q_0^{k_0}\le\alpha$ [/mm] ...
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:40 Mi 14.01.2009 | | Autor: | barsch |
Hi,
danke.
> Moin barsch,
>
> > wieder eine dieser unbeliebten
> > Stochastik-/Statistik-Aufgaben.
>
> Nana, bitte nicht mit solch demotivierenden
> Aeusserungen beginnen :-(
Zugegeben: Nicht sehr einladend, aber treffend. Zumindest empfinde ich das so. Fragen zur Stochastik bleiben generell länger oder ganz unbeantwortet. Und wenn diese Fragen beantwortet werden, dann meist von luis52
Und ich hatte - ungelogen - vermutet, dass diese Frage, wenn, dann von dir beantwortet wird.
Nun aber mal zur eigentlichen Aufgabe.
> Um uns von den laestigen 0.05, 0.01 bzw 0.99 zu loesen,
> arbeiten wir mal mit [mm]\alpha(=0.05)[/mm], [mm]p[/mm] und [mm]q=1-p[/mm].
> Wir bestimmen mal zunaechst die Verteilungsfunktion von X:
> Fuer
> [mm]k=1,2,3,\dots[/mm] ist
>
> [mm]P(X\le k)=p\sum_{i=1}^kq^{i-1}=1-q^k[/mm].
Ahh, weil [mm] P(X\le k)=p\sum_{i=1}^kq^{i-1}=\bruch{p}{q}\sum_{i=1}^kq^{i}=p*\bruch{1-q^k}{1-q}=...=(1-q)*\bruch{1-q^k}{1-q}=1-q^k
[/mm]
Das ist jetzt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass spätestens im k-ten Zug ein Hauptgewinn gezogen wird! (?)
> Wir verwerfen [mm]q=0.99=q_0[/mm], wenn wir zu lange auf den
> Hauptgewinn warten
> muessen. Was heisst zu lange? Eine Anzahl von Versuchen
> [mm]k_0[/mm]. Den Fehler
> 1. Art begehen wir, wenn [mm](X>k_0)[/mm] eintritt, obwohl [mm]q=q_0[/mm].
> Wir
> benoetigen mehr als [mm]k_0[/mm] Zuege mit der Wahrscheinlichkeit
>
> [mm] P(X>k_0)=1-P(X\le k_0)=q^{k_0} [/mm]
Das leuchtet ein,
[mm] 1-P(X\le k_0)=1-(1-q^{k_0})=q^{k_0}
[/mm]
> [mm]k_0[/mm] ist so zu bestimmen, dass gilt [mm]q_0^{k_0}\le\alpha[/mm] ...
Das würde ja heißen,
[mm] q_0^{k_0}=q^{k_0}=0,99^{k_0}\le{0,05}=\alpha
[/mm]
[mm] 0,99^{k_0}\le{0,05}
[/mm]
[mm] \gdw{ln(0,99^{k_0})\le{ln(0,05)}}
[/mm]
[mm] \gdw{k_0*ln(0,99)\le{ln(0,05)}}
[/mm]
[mm] \gdw{k_0\ge{\bruch{ln(0,05)}{ln(0,99)}}}\circa{298,07}
[/mm]
Das bedeutet, bei 299 Nieten hintereinander entscheiden wir uns zu 5% irrtümlich gegen die Hypothese [mm] q_0=q={0,99}! [/mm] (?)
>
> vg Luis
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MfG barsch
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:48 Mi 14.01.2009 | | Autor: | luis52 |
> Das bedeutet, bei 299 Nieten hintereinander entscheiden wir
> uns zu 5% irrtümlich gegen die Hypothese [mm]q_0=q={0,99}![/mm] (?)
>
> >
Na geht doch!
vg Luis
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