geometrische Wahrscheinlichke < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:52 Mo 03.11.2008 | | Autor: | Nataliee |
| Aufgabe | a)
2 Freunde verabreden, sich zwischen 9 und 10 Uhr auf dem Tennisplatz zu treffen. Wir gehen davon aus, dass eine Freund zufällig zwischen 9.30 und 10.00 Uhr und der andere zufällig zwischen 9 und 10 Uhr auf dem Platz eintrifft. Man berechne die Wahrscheinlichkeit dafür ,dass eine der beiden Personen länger als 10 Minuten warten muss.
Hinweis: Man charakterisiere das interessierende Ereignis in geeigneter Weise und berechne die geometrische Wahrscheinlichkeit des Ereignisses.
b)Auf den benachbarten Seiten eines Quadrats der Seitenlänge 1 werden willkürlich 2 Punkte ausgewählt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ihr Abstand größer als 0.4 ist? |
Hallo,
üblicherweise mach ich mir nicht solche Gedanken wenn ich meine Freundin treffe, daher ist es ein wenig problematisch.
Hat jemand eine Idee?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:40 Mo 03.11.2008 | | Autor: | luis52 |
> a)
> 2 Freunde verabreden, sich zwischen 9 und 10 Uhr auf dem
> Tennisplatz zu treffen. Wir gehen davon aus, dass eine
> Freund zufällig zwischen 9.30 und 10.00 Uhr und der andere
> zufällig zwischen 9 und 10 Uhr auf dem Platz eintrifft. Man
> berechne die Wahrscheinlichkeit dafür ,dass eine der beiden
> Personen länger als 10 Minuten warten muss.
> Hinweis: Man charakterisiere das interessierende Ereignis
> in geeigneter Weise und berechne die geometrische
> Wahrscheinlichkeit des Ereignisses.
Wenn A um $x=9.45$ eintrifft und B um $y=9.15$, dann muss B 30 Minuten
warten. Wie sieht die Menge *aller* Punkte [mm] $W\subset\{(x,y)\mid 9.30
die das Ereignis beschreibt?
>
> b)Auf den benachbarten Seiten eines Quadrats der
> Seitenlänge 1 werden willkürlich 2 Punkte ausgewählt. Wie
> groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ihr Abstand
> größer als 0.4 ist?
Hast du schon Skizze erstellt? Wenn ja, zeig mal ...
> Hallo,
> üblicherweise mach ich mir nicht solche Gedanken wenn ich
> meine Freundin treffe,
Was fuer ein trauriges Leben ... 
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:13 Mo 03.11.2008 | | Autor: | Nataliee |
Hi luis52
> Wie sieht die Menge *aller* Punkte
> [mm]W\subset\{(x,y)\mid 9.30
> die das Ereignis beschreibt?
das kriege ich noch hin :)
[mm] W:{(x,y)\mid 9.3010}
[/mm]
> Hast du schon Skizze erstellt? Wenn ja, zeig mal ...
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:42 Mo 03.11.2008 | | Autor: | luis52 |
> Hi luis52
>
> > Wie sieht die Menge *aller* Punkte
> > [mm]W\subset\{(x,y)\mid 9.30
> > die das Ereignis beschreibt?
>
> das kriege ich noch hin :)
> [mm]W:{(x,y)\mid 9.3010}[/mm]
>
> > Hast du schon Skizze erstellt? Wenn ja, zeig mal ...
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
Moin Nataliee,
sehr huebsch. Die Koordinaten der roten Punkte sind $(0,y)$ und $(x,0)$.
Wann ist ihr Abstand $>0.4$?
Bei a) wuerde ich auch gerne ein Bild sehen ... (aiehe Aufgabentext)
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:00 Di 04.11.2008 | | Autor: | Nataliee |
Hi luis52,
> Wann ist ihr Abstand [mm]>0.4[/mm]?
[Dateianhang nicht öffentlich]
Wenn davon auszugehen ist (was in der Aufgabenstellung nicht klar wird)
das die Abstände bei 0,1 liegen, so gibt für die Abstände der 2 Punkte mit
>0.4, 2*(6+5+4+3+2+1) Möglichkeiten.
Da wir bei (0,0),(0,0.5);(0,0),(0,0.6);...6 Möglichkeiten;
(0,0.1),(0,0.6);(0,1),(0,0.7);...5 Möglichkeiten...
haben (2* da jeweils ein Punkt verschoben werden kann).
Demnach ist [mm] \Omega [/mm] = 2*(11+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1)
Also Die W-keit für >0.4 ist
[mm] P(>0.4)=\bruch{2*(6+5+4+3+2+1)}{2*(11+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1)}=\bruch{6+5+4+3+2+1}{11+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1}
[/mm]
= [mm] \bruch{20}{66} [/mm] = [mm] \bruch{10}{33} [/mm] =0.3030=30.30%
Kann man das auch geschickter lösen?
> Bei a) wuerde ich auch gerne ein Bild sehen ...
[Dateianhang nicht öffentlich] (Punkte zur erkennung der Fläche, scannt nicht sauber)
Wartezeit für [mm] x:W_x:{(x,y)\mid 9.300.10}
[/mm]
Wartezeit für [mm] y:W_y:{(x,y)\mid 9.300.10}
[/mm]
Also würde sagen [mm] \Omega [/mm] ist 59*29.
Jetzt muß man noch die Möglichkeiten für die Wartezeit > 10 min. festlegen.
Bin jetztalles durchgegangen hoffe ich habe mich nicht verzählt.
Wartezet für x +Wartezeit für y
[mm] |W|=\summe_{i=1}^{18}i+(20*29 \summe_{i=1}^{28}i)
[/mm]
=171+580+406
=1157
Daraus folgt P(10 min. warten)= [mm] \bruch{1157}{59*29}=0.67621
[/mm]
Ist das Richtig?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:43 Di 04.11.2008 | | Autor: | luis52 |
Moin Nataliee,
Zu a) Die Zeichnung ist prima. Du musst aber bedenken, dass die Zeitpunkte reelle Zahlen sind. Mithin kannst du [mm] $\Omega$ [/mm] so schreiben:
[mm] $\Omega=\{(x,y)\mid x,y\in\IR,30\le x\le 60, 0\le y\le60\}$
[/mm]
Das interessierende Ereignis sind die von dir schraffierte Fl"achen. Die
Wsk, dass das gruene Ereignis eintritt berechne ich als
[mm] $\mbox{Anteil der gruenen Flaeche an der
Gesamtflaeche}=\frac{20\times20/2}{30\times60}=0.11$
[/mm]
Berechne nun den Anteil der anderen Flaeche und addiere ihn hinzu. *Ich*
errechne 0.6944.
Zu b) Mir stellt sich die Aufgabe wie folgt: Auf der Abszisse wird
zufaellig ein Punkt $(x,0)$ gewaehlt, $0<x<1$. Unabhaengig davon wird zufaellig
ein Punkt $(0,y)$ auf der Ordinate gewaehlt, $0<y<1$. Wie gross ist die Wsk
dafuer, dass der Abstand der Punkte $>0.4$ ist?
Du musst zun"achst klaeren, was "Abstand" ist. Z.B. ist [mm] $\max\{x,y\}$ [/mm] ein
legitimer Kandidat. Ich *vermute*, dass der euklidische Abstand
[mm] $\sqrt{x^2+y^2}$ [/mm] gemeint ist. Damit lautet die Aufgabe:
$X,Y$ seien zwei unabhaengige Zufallsvariablen,
die gleichverteilt sind im Intervall (0,1). Bestimme [mm] $P(\sqrt{X^2+Y^2}>0.4)$.
[/mm]
Deine Rechnungen deuten darauf hin, dass du annimmst, dass $X$ und Y nur
endlich viele Werte annehmen koennen, sie also diskret verteilt sind. Das
aber entnemhe ich der Aufgabenstellung nicht.
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:23 Di 04.11.2008 | | Autor: | Nataliee |
Sorry für die vielen Korrekturen.
Eine Frage muß ich nicht für die grünen Flächen 18*18/2 rechnen da die
Personen zwischen den Zeiten da sind?
1.Person ist um 31 da und wartet bis 48
da ja 2.Person bis zu 59 kommt und 1.Person länger als 10 warten soll.
Das ist das Problem der Aufgabenstellung, was soll man mit "verstehen"?
zur b)
X,Y seien zwei unabhaengige Zufallsvariablen,
die gleichverteilt sind im Intervall (0,1). Bestimme
$ [mm] P(\sqrt{X^2+Y^2}>0.4) [/mm] $
Ok verstehe ,das ist schwerer als ich gedacht habe.
Wie kann ich sowas lösen? Die Vorstellung habe ich ja jetzt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:41 Di 04.11.2008 | | Autor: | luis52 |
> Sorry für die vielen Korrekturen.
> Eine Frage muß ich nicht für die grünen Flächen 18*18/2
> rechnen da die
> Personen zwischen den Zeiten da sind?
> 1.Person ist um 31 da und wartet bis 48
> da ja 2.Person bis zu 59 kommt und 1.Person länger als 10
> warten soll.
>
> Das ist das Problem der Aufgabenstellung, was soll man mit
> "verstehen"?
"Zwischen" heisst $30<X<60$ oder [mm] $30\le X\le [/mm] 60$. Es spielt keine Rolle
welches Zeichen du verwendest, da die Ankunftszeiten stetig verteilt sind
und somit beispielsweise $P(X=30)=0$ ist.
Ich habe meine Loesung gemaess deiner Zeichnung angegeben. Zeichne das
Bild so (ohne diskrete Punkte), dass du die Menge
[mm] $\{(x,y)\mid x,y\in\IR, 3010\}$
[/mm]
leicht finden kannst. Ich vermute, dass sie so aehnlich wie in deinem
ersten Bildchen aussieht.
vg Luis
>
> zur b)
> X,Y seien zwei unabhaengige Zufallsvariablen,
> die gleichverteilt sind im Intervall (0,1). Bestimme
> [mm]P(\sqrt{X^2+Y^2}>0.4)[/mm]
> Ok verstehe ,das ist schwerer als ich gedacht habe.
> Wie kann ich sowas lösen? Die Vorstellung habe ich ja
> jetzt.
Falsch: leichter Zeichne mal den Ort aller Punkte mit [mm] $\sqrt{X^2+Y^2}=0.4$ [/mm] ...
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:32 Di 04.11.2008 | | Autor: | Nataliee |
Also gemäß der einfachheit für Zeichnung und Rechnung mit
$ [mm] \Omega=\{(x,y)\mid x,y\in\IR,30\le x\le 60, 0\le y\le60\} [/mm] $ und
W: $ [mm] \{(x,y)\mid x,y\in\IR, 30\le x\le60, 0\le y\le 60, |x-y|>10\} [/mm] $
erhalten wir mit [mm] |\Omega|=30*60=1800 [/mm] und
$ [mm] $\mbox{Anteil der gruenen Flaeche an der Gesamtflaeche}=\frac{20\times20/2}{30\times60}=0.11111$ [/mm] $ sowie
$ [mm] $\mbox{Anteil der rosa Flaeche an der Gesamtflaeche}=\bruch{(20*30)+\bruch{30*30}{2}}{30*60}=0.58333$ [/mm] $
und somit
[mm] P(a))=\bruch{\bruch{20*20}{2}+(20*30)+\bruch{30*30}{2}}{30*60}=0.69444444
[/mm]
Haut hin :)
b)
> Zeichne mal den Ort aller Punkte mit
> [mm]\sqrt{X^2+Y^2}=0.4[/mm] ...
So hier liegen alle Möglichen Punkte dafür.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:03 Di 04.11.2008 | | Autor: | luis52 |
Du irrst. Im roten Bereich liegen beispielsweise $(0,y)=(0,0.1) und
$(x,0)=(0.1,0)$. Es gilt jedoch [mm] $\sqrt{x^2+y^2}\ne [/mm] 0.4$.
Die gesuchte Menge liegt woanders. Such, such ...
vg Luis
PS: Bitte stelle deine Fragen als Fragen und nicht als Mitteilungen ...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:39 Di 04.11.2008 | | Autor: | Nataliee |
Aha, sorry.
$ [mm] \sqrt{x^2+y^2}= [/mm] 0.4 $
Also um in der Wurzel auf 0,16 zu kommen :
(0.4,0),(0,0.4) sind doch nur 2 oder bin ich blind?
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:37 Di 04.11.2008 | | Autor: | luis52 |
$(x,0)=(0.24,0)$ und $(0,y)=(0,0.32)$ leisten das auch ...
Sieh doch mal die x- und die y-Werte an als Koordinaten eines
Punktes in deinem Diagramm. Lies die Aufgabe so: Auf der
Abszisse (Ordinate) werden zufaellig im Intervall (0,1) gleichverteilte
Zahlen x (y) gewaehlt. Wo liegt die Menge aller Punkte (x,y)
mit [mm] $\sqrt{x^2+y^2}=0.16$?
[/mm]
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:17 Mi 05.11.2008 | | Autor: | Nataliee |
Morgen,
b)du hast doch gefragt wann
$ [mm] \sqrt{x^2+y^2}= [/mm] 0.4 $
> [mm](x,0)=(0.24 ,0)[/mm] und [mm](0,y)=(0, 0.32)[/mm] leisten das auch
Wie komme ich den mit den 2 Punkten auf 0.4?
schönen Gruß
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:44 Mi 05.11.2008 | | Autor: | luis52 |
$ [mm] \sqrt{x^2+y^2}= \sqrt{0.24^2+0.32^2}= \sqrt{0.16}= [/mm] 0.4 $.
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:52 Mi 05.11.2008 | | Autor: | Nataliee |
| Aufgabe | b)Auf den benachbarten Seiten eines Quadrats der Seitenlänge 1 werden willkürlich 2 Punkte ausgewählt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ihr Abstand größer als 0.4 ist?
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Ah klar, irgendwie hatte sich mein Taschenrechner gegen das Ergebnis gewehrt :) Danke für deine Geduld.
>$ X,Y $ seien zwei unabhaengige Zufallsvariablen,
>die gleichverteilt sind im Intervall (0,1). Bestimme$ [mm] P(\sqrt{X^2+Y^2}>0.4) [/mm] $
Also bestimmen zunächst das Gegenereignis [mm] P(\sqrt{X^2+Y^2}\le0.4).
[/mm]
Das würde heißen das sich sozusagen ein viertel Kreis in der Ecke bildet.
Von (0, 0.4) bis (0.4, 0) und der Radius von 0 wird wohl 0,4 sein(nach meiner Zeichnung und deinen Werten 0.24 0.32, kann es momentan leider nicht Hochladen).
ersatz [Dateianhang nicht öffentlich]
Sehe jetzt die Fläche im Gegensatz zur Gesamtfläche.
Wie kann ich den nun das Größenverhältnis bestimmen?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:18 Mi 05.11.2008 | | Autor: | luis52 |
> b)Auf den benachbarten Seiten eines Quadrats der
> Seitenlänge 1 werden willkürlich 2 Punkte ausgewählt. Wie
> groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ihr Abstand
> größer als 0.4 ist?
>
> Ah klar, irgendwie hatte sich mein Taschenrechner gegen das
> Ergebnis gewehrt :) Danke für deine Geduld.
>
> >[mm] X,Y[/mm] seien zwei unabhaengige Zufallsvariablen,
> >die gleichverteilt sind im Intervall (0,1). Bestimme[mm] P(\sqrt{X^2+Y^2}>0.4)[/mm]
>
> Also bestimmen zunächst das Gegenereignis
> [mm]P(\sqrt{X^2+Y^2}\le0.4).[/mm]
> Das würde heißen das sich sozusagen ein viertel Kreis in
> der Ecke bildet.
Ja, ja, ja!
> Von (0, 0.4) bis (0.4, 0) und der Radius von 0 wird wohl
> 0,4 sein(nach meiner Zeichnung und deinen Werten 0.24 0.32,
> kann es momentan leider nicht Hochladen).
> ersatz [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> Sehe jetzt die Fläche im Gegensatz zur Gesamtfläche.
> Wie kann ich den nun das Größenverhältnis bestimmen?
>
Wie gross ist denn eines Kreisflaeche?
Wie gross ist denn eine Rechtecksflaeche?
Aber es wird, es wird!
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:48 Mi 05.11.2008 | | Autor: | Nataliee |
Man o man Man kann sich auch dumm anstellen :)
Naja aber jetzt hab ich es ja.
[mm] A_{kreis}=r^2*\pi
[/mm]
[mm] A_{rechteck}=a*b
[/mm]
Also unser Ereignis [mm] P(Abstnd>0.4)=A_{rechteck}-\bruch{A_{kreis}}{4}=1-\bruch{(0.4)^2 *\pi}{4}=0.87434
[/mm]
Kann das sein?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:31 Mi 05.11.2008 | | Autor: | Nataliee |
Vielen Dank für den Marathon :)
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Juchhe!
