geordneter Körper < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:18 Sa 03.12.2011 | | Autor: | elmanuel |
| Aufgabe | | Beweisen Sie das in jedem geordnetem Körper 1>0 gilt. |
Hallo liebe Gemeinde!
Mein Ansatz:
in jedem geordneten Körper K gilt:
q,r,s [mm] \in [/mm] K
q>0 [mm] \wedge [/mm] r>0 [mm] \Rightarrow [/mm] q*r>0
q=1 r=1
also 1>0 [mm] \wedge [/mm] 1>0 [mm] \Rightarrow [/mm] 1>0
stimmt das ??
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öhm, ne, so wird das nix.
Du folgerst bereits aus der Aussage, die du zeigen möchtest, das kann nur schief gehen.
Erzähl mal was genau du bereits über angeordnete Körper weißt.
Wenn du etwa schon weißt, dass Quadratzahlen immer [mm] $\geq [/mm] 0$ sind, wäre das zum Beispiel sehr hilfreich.
lg
Schadow
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:10 So 04.12.2011 | | Autor: | elmanuel |
Ich kenne nur die Definition :
Ein Körper K der auch eine totalgeordnete Menge ist heißt geordneter Körper, falls die beiden Ordnungsaxiome gelten d.h. für q,r,s [mm] \in [/mm] K gilt
q<=r [mm] \Rigtharrow [/mm] q+s <= r+s
q>0 [mm] \wedge [/mm] r>0 [mm] \Rigtharrow [/mm] q*r>0
das Quadrate immer positiv sind weiß ich aus den einfachen Rechenregeln für die Multiplikation, denn
+*+=+
-*-=+
aber wie beweist mir das 1>0 ?
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> Ich kenne nur die Definition :
>
> Ein Körper K der auch eine totalgeordnete Menge ist heißt
> geordneter Körper, falls die beiden Ordnungsaxiome gelten
> d.h. für q,r,s [mm]\in[/mm] K gilt
>
> q<=r [mm]\Rigtharrow[/mm] q+s <= r+s
> q>0 [mm]\wedge[/mm] r>0 [mm]\Rigtharrow[/mm] q*r>0
>
> das Quadrate immer positiv sind weiß ich aus den einfachen
> Rechenregeln für die Multiplikation, denn
> +*+=+
> -*-=+
>
> aber wie beweist mir das 1>0 ?
Zu aller erst solltest du hier deine Beweise alle aus den Axiomen herleiten.
Weißt du überhaupt schon, was - ist?
Ich würde dir den Beweis in dieser Reihenfolge empfehlen:
1. $0<a [mm] \gdw [/mm] -a < 0$
2. $0 [mm] \neq [/mm] a [mm] \Rightarrow [/mm] 0 < [mm] a^2$
[/mm]
3. $0<1$
Und zu deiner letzten Frage:
Überleg mal, ob die 1 unter Umständen das Quadrat irgend einer Zahl im Körper sein könnte...
lg
Schadow
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:43 Mo 05.12.2011 | | Autor: | elmanuel |
ok versuch:
0<a |*(-1)
0>-a
0<a |²
[mm] 0
oder
0>-a |²
[mm] 0
also egal ob a positiv oder negativ [mm] 0
in einem Körper [mm] \exists [/mm] ein Einselement also die 1
[mm] \Rigtharrow 0<1^2 \gdw [/mm] 0<1
ok??
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Hallo!
So könntest du es mit den Körper und Ordnungsaxiomen machen:
Zunächst mal weist du, das nach dem Ordnungsaxiom(1) genau eine der drei Möglichkeiten (1<0;1=0;1>0) besteht.
Jetzt kannst du das nacheinander widerlegen.
1) 1=0 kann nicht sein, da nach dem Körperaxiom: [mm]\exists 1\in \IR \setminus {0} mit \forall x \in \IR : x\cdot 1=x[/mm]
2) 1<0
Falls das gelten würde und wir (-1) auf den Ausdruck addieren, so liefert uns das Ordnungsaxiom x<y [mm]\Rightarrow
[/mm] x+z < y+z
dass 0<-1 ist.
Nun könntest du aber nach dem Ordnungsaxiom: x<y und 0<z [mm]\Rightarrow
[/mm] x[mm]\cdot
[/mm]z < y[mm]\cdotz
[/mm][mm]\cdot
[/mm]z
Den Ausdruck 1<0 mit (-1) multiplizieren,ohne dass sich das Vorzeichen ändert, was zu dem Widerspruch -1<0 führen würde.
3) Es bleibt also nur die Möglichkeit 1>0.
Valerie
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:00 Di 06.12.2011 | | Autor: | elmanuel |
danke Valerie!
ich habe verstanden :)
nur eines ist noch unklar:
> Zunächst mal weist du, das nach dem Ordnungsaxiom(1)
> genau eine der drei Möglichkeiten (1<0;1=0;1>0) besteht.
meinst du das Axiom
O1: q<=r [mm] \Rigtharrow [/mm] q+s <= r+s
warum folgt daraus das es nur genau die drei Möglichkeiten
(1<0;1=0;1>0) geben kann
ich meine es ist mir generell total klar das es nur diese 3 Möglichkeiten geben kann, aber aus welchen Axiomen ich solche trivialitäten ableiten kann ...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:15 Di 06.12.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> danke Valerie!
>
> ich habe verstanden :)
>
> nur eines ist noch unklar:
>
> > Zunächst mal weist du, das nach dem Ordnungsaxiom(1)
> > genau eine der drei Möglichkeiten (1<0;1=0;1>0) besteht.
>
> meinst du das Axiom
> O1: q<=r [mm]\Rigtharrow[/mm] q+s <= r+s
Nein, das meint sie nicht. Das Problem ist, dass die Ordnungsaxiome ueberall anders durchnummeriert werden koennen, und dass sie manchmal mit [mm] $\le$ [/mm] und manchmal mit $<$ formuliert werden.
> warum folgt daraus das es nur genau die drei Möglichkeiten
> (1<0;1=0;1>0) geben kann
Bei dir ist es offenbar mit [mm] $\le$ [/mm] formuliert; schau mal nach einem Axiom der Art "Aus $x [mm] \le [/mm] y$ und $y [mm] \le [/mm] x$ folgt $x = y$"; das zeigt, dass nicht gleichzeitig $x < y$ und $x > y$ gelten kann.
Weiterhin solltest du ein Axiom haben, dass fuer je zwei Elemente $x, y$ gilt $x [mm] \le [/mm] y$ oder $x [mm] \ge [/mm] y$. Daraus folgt, dass mindestens eins von $x < y$, $x = y$ und $x > y$ gelten muss.
Beides zusammen liefert das Axiom, welches Valerie genannt hat.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:25 Di 06.12.2011 | | Autor: | elmanuel |
danke, ist klarer!
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