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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - gew. DGL
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gew. DGL: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:04 Do 28.05.2009
Autor: meli_bremen

Aufgabe
Finden Sie die allgemeine Lösung:
xy´ [mm] =y-xe^{\bruch{y}{x}} [/mm]

Hallo,

ich habe bisher folgendes:
xy´ [mm] =y-xe^{\bruch{y}{x}} [/mm]
y´= [mm] \bruch{y}{x}-e^{\bruch{y}{x}} [/mm]                                
[mm] u=\bruch{y}{x} [/mm]
y´= [mm] u-e^{u} [/mm]                                             y´= u+xu´
u+xu´= [mm] u-e^{u} [/mm]
[mm] -e^{-u} [/mm] du = [mm] \bruch{1}{x} [/mm] dx
[mm] e^{-u} [/mm] = ln(x) + c

Ich hoffe das ist soweit richtig.
Jetzt will ich nach u auflösen, das geht ja normalerweise mit ln, aber dann hab ich ja auf der rechten Seite ln(ln(...)). Kann man das so machen? Irgendwie kommt mir das komisch vor.

Gruß
Meli

        
Bezug
gew. DGL: weiter geht's ...
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:23 Do 28.05.2009
Autor: Roadrunner

Hallo Meli!


Genauso weitermachen. Bisher sieht das sehr gut aus. [ok]

Und auch nicht durch den "doppelten Logarithmus" verwirren lassen.


Gruß vom
Roadrunner


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gew. DGL: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:47 Do 28.05.2009
Autor: meli_bremen

Danke für die Antwort.
Ich habe dann folgendes raus:

u=-ln(ln(x)+c)
dann in y=ux einsetzen:
y= -x ln(ln(x)+c)
Ist das richtig? Kann man das mit dem ln noch irgendwie umschreiben?

Gruß
Meli

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gew. DGL: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:11 Do 28.05.2009
Autor: ullim

Hi,

alles perfekt gelöst, kannst Du aber auch durch differenzieren und wieder einsetzen selber prüfen.

mfg ullim

Bezug
                                
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gew. DGL: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:37 Fr 29.05.2009
Autor: meli_bremen

ok, danke :)

Bezug
                                        
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gew. DGL: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:34 Mo 01.06.2009
Autor: bonanza123

hey, ich habe die gleich aufgabe und wir sollen durch ableiten und einsetzen das ergebniss prüfen!

ich komme auch auf das ergebniss

y = - x * ln( ln(x) + c)

allerdings, wenn ich das ableite

y´ =  - ln ( ln(x) + c) - 1/(ln(x)+c)

wenn ich das mit y`= y/x - e^(y/x)

gleichsetze, muss ja 1 = 1 rauskommen?

ich komme nicht auf die richtigen umformungen

kann mir jemand weiterhelfen, das die erste aufgabe vom zettel und
ich verzweifel jetzts chon:(

danke:)

Bezug
                                                
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gew. DGL: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:00 Mo 01.06.2009
Autor: MathePower

Hallo bonanza123,

> hey, ich habe die gleich aufgabe und wir sollen durch
> ableiten und einsetzen das ergebniss prüfen!
>  
> ich komme auch auf das ergebniss
>  
> y = - x * ln( ln(x) + c)
>  
> allerdings, wenn ich das ableite
>  
> y´ =  - ln ( ln(x) + c) - 1/(ln(x)+c)


[ok]


>  
> wenn ich das mit y'= y/x - e^(y/x)
>  
> gleichsetze, muss ja 1 = 1 rauskommen?


Es muß eine wahre Aussage herauskommen.


>  
> ich komme nicht auf die richtigen umformungen
>  
> kann mir jemand weiterhelfen, das die erste aufgabe vom
> zettel und
> ich verzweifel jetzts chon:(


Zunächst ist

[mm]\bruch{y}{x}=\bruch{- x * ln( \ ln(x) + c \ ) }{x}=-ln( \ ln(x) + c \ )[/mm]

Dann ergibt sich

[mm]e^{\bruch{y}{x}}=e^{ \ -ln( \ ln(x) + c \ ) \ }=e^{ \ ln( \ \left( \ ln(x) + c \ \right)^{-1} \ ) \ }=\left( \ ln(x) + c \ \right)^{-1}[/mm]

Siehe auch: Logarithmusgesetze

Das dann in die DGL einsetzen.


>  
> danke:)


Gruß
MathePower

Bezug
                                                        
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gew. DGL: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:04 Mo 01.06.2009
Autor: bonanza123

aha, ja ich axo, cool, dankeschön:)

Bezug
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