ggT < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:51 Di 09.10.2007 | | Autor: | Zerwas |
| Aufgabe | Berechnen Sie den ggT der folgenden Polynome in [mm] \IR[T]:
[/mm]
P(T) = [mm] 4T^4 [/mm] + [mm] T^3 [/mm] + [mm] 3T^2 [/mm] + T − 1
Q(T) = [mm] −4T^5 [/mm] + [mm] 3T^4 [/mm] + [mm] 2T^3 [/mm] + [mm] 7T^2 [/mm] + 6T + 4 |
Mit dem euklidischen Algorithmus:
[mm] (−4T^5 [/mm] + [mm] 3T^4 [/mm] + [mm] 2T^3 [/mm] + [mm] 7T^2 [/mm] + 6T + 4) = (-T) * [mm] (4T^4 [/mm] + [mm] T^3 [/mm] + [mm] 3T^2 [/mm] + T − 1) + [mm] (4T^4 [/mm] + [mm] 5T^3 [/mm] + [mm] 8T^2 [/mm] + 5T + 4)
[mm] (4T^4 [/mm] + [mm] T^3 [/mm] + [mm] 3T^2 [/mm] + T − 1) = (1) * [mm] (4T^4 [/mm] + [mm] 5T^3 [/mm] + [mm] 8T^2 [/mm] + 5T + 4) + [mm] (-4T^3 [/mm] - [mm] 5T^2 [/mm] - 4T -5)
[mm] (4T^4 [/mm] + [mm] 5T^3 [/mm] + [mm] 8T^2 [/mm] + 5T + 4) = (-T) * [mm] (-4T^3 [/mm] - [mm] 5T^2 [/mm] - 4T -5) + [mm] (4T^2 [/mm] + 4)
[mm] (-4T^3 [/mm] - [mm] 5T^2 [/mm] - 4T -5) = (-T) * [mm] (4T^2 [/mm] + 4) + [mm] (-5T^2 [/mm] - 5)
[mm] (4T^2 [/mm] + 4) = [mm] (-\bruch{4}{5}) [/mm] * [mm] (-5T^2 [/mm] - 5) + 0
Damit ist [mm] (-5T^2 [/mm] - 5) ggT von P(T) und Q(T)
Probe:
[mm] (4T^4 [/mm] + [mm] T^3 [/mm] + [mm] 3T^2 [/mm] + T − 1) : [mm] (-5T^2 [/mm] - 5) = [mm] -\bruch{4}{5}T^2 [/mm] - [mm] \bruch{1}{5}T [/mm] + [mm] \bruch{1}{5}
[/mm]
[mm] (−4T^5 [/mm] + [mm] 3T^4 [/mm] + [mm] 2T^3 [/mm] + [mm] 7T^2 [/mm] + 6T + 4) : [mm] (-5T^2 [/mm] - 5) = [mm] \bruch{4}{5}T^3 [/mm] - [mm] \bruch{3}{5}T^2 [/mm] + [mm] \bruch{6}{5}T [/mm] - [mm] \bruch{4}{5}
[/mm]
Also teilt [mm] (-5T^2 [/mm] - 5) die beiden Polynome
Passt das so?
Gruß Zerwas
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:02 Di 09.10.2007 | | Autor: | statler |
Hallo,
wenn du dich nicht verrechnest hast, dann paßt das. -5 ist eine Einheit, also kannst du auch [mm] T^{2}+1 [/mm] als ggT nehmen.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
|
|
|
|
