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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:13 Mo 21.04.2008 | | Autor: | Coco84 |
| Aufgabe | Es seien a,b [mm] \in \IN [/mm] mit ggT(a,b)=1. Zeigen Sie: Jedes n [mm] \in \IN [/mm] mit n>ab lässt sich in der Form n=ax+by mit x,y [mm] \in \IN [/mm] darstellen.
(Hinweis: Es gilt al-bm=1 mit l,m [mm] \in \IN). [/mm] |
Hallo!
Ich komme irgendwie nicht weiter...
Ich habe versucht mit dem Hinweis zu arbeiten und durch eine Nullergänzung zu erweitern, sprich:
1=al-bm=al- tab+tab-bm, sodass t so gewählt werden muss, dass x,y [mm] \in \IN
[/mm]
Dachte ich könnte, dann ab so ausklammern, dass ich ausnutzen kann, dass n>ab. Aber irgendwie komme ich nicht weiter.
Vielleicht kann mir ja jemand helfen?!
Lieben Gruß
Coco
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:32 Mi 23.04.2008 | | Autor: | statler |
Hi!
Ich überlege mir, daß die a-1 Zahlen von ab+1 bis ab + a-1 in der gewünschten Form darstellbar sind. Für ein ab+r aus diesem Bereich löse ich die Kongruenz r [mm] \equiv [/mm] bm mod a mit einem m zwischen 1 und a-1. Das geht, da a und b teilerfremd sind. Dann folgt aber sofort, daß es ein l gibt mit ab+r = al + bm (weil ab +r - bm durch a teilbar ist) und daß l positiv ist (weil ab + r - bm = (a-m)b + r positiv ist).
Die Zahl ab + a = a1 + ba ist offenbar auch so darstellbar, und jetzt kann ich per Induktion weitermachen.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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