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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:03 Mi 09.12.2009 | | Autor: | da_kiwi |
| Aufgabe | | Seien [mm] n\ge1 [/mm] eine beliebige natürliche Zahl. Bestimmen sie [mm] ggT(2^{n}-1,2^{n}+1)! [/mm] Beweisen Sie Ihr Antwort! |
Hey,
wenn ich in meiner Übungsgruppe sitze, kommt es des öfteren vor das ich denke: "Wieso darf der Prof das einfach so ablesen bzw davon ausgehen ohne es zu beweisen."
Ich hab dort wo er es abliest dann meistens einen (langen) beweis.
Als ich mir diese Aufgabe angeguckt habe, hab ich gedacht da kann man auch viel "ablesen":
[mm] 2^{n}-1 [/mm] und [mm] 2^{n}+1 [/mm] haben die Differenz 2. D.h. es kommen nur 1 und 2 als ggT in Frage. Da [mm] 2^{n}-1 [/mm] und [mm] 2^{n}+1 [/mm] aber stehts ungerade sind, fällt die 2 als ggT weg.
=> [mm] ggT(2^{n}-1,2^{n}+1)=1
[/mm]
Kann man das so machen? Das ist doch eher eine Begründung und kein Beweis, oder?
Grüße
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> Sei [mm]n\ge1[/mm] eine beliebige natürliche Zahl. Bestimmen Sie
> [mm]ggT(2^{n}-1,2^{n}+1) ![/mm] Beweisen Sie Ihre Antwort!
> Als ich mir diese Aufgabe angeguckt habe, hab ich gedacht
> da kann man auch viel "ablesen":
>
> [mm]2^{n}-1[/mm] und [mm]2^{n}+1[/mm] haben die Differenz 2. D.h. es kommen
> nur 1 und 2 als ggT in Frage. Da [mm]2^{n}-1[/mm] und [mm]2^{n}+1[/mm] aber
> stets ungerade sind, fällt die 2 als ggT weg.
> => [mm]ggT(2^{n}-1,2^{n}+1)=1[/mm]
> Kann man das so machen? Das ist doch eher eine Begründung
> und kein Beweis, oder?
Hallo David,
ich halte diese Überlegungen sogar für einen
sehr eleganten Beweis. Vielleicht wäre es noch
gut, darauf hinzuweisen, dass du dich dabei auf
den Satz stützt:
"Wenn [mm] a,b\in\IN [/mm] mit a>b, so ist ggT(a,b) stets auch
ein Teiler der Differenz d=a-b ."
LG Al-Chw.
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