ggT und kgV < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:35 Sa 26.12.2009 | | Autor: | erik87 |
| Aufgabe | Sei R ein Hauptidealring. Für alle [mm] a,b\in [/mm] R gilt ggT {a,b}*kgV{a,b}~ab
(~ kennzeichnet hier die Assoziertheitsrelation). |
Hallo, also ich weiß ich muss zeigen ab|ggt{a,b}*kgV{a,b} und umgekehrt.
Das erste krieg ich noch einigermaßen hin, nach dem Lemma von Bezout kann ich ggT {a,b} schreiben als a*u+b*v für [mm] u,v\in [/mm] R und a*c=k=b*d
für [mm] c,d\in [/mm] R.
Dann gilt ggT{a,b}*kgV{a,b}=(a*u+b*v)*kgV{a,b}=(a*u*kgV{a,b})+(b*v*kgV{a,b})=(a*u*b*d)+(b*v*a*c)=(a*b)*(u*d+v*c) also teilt ab kgV{a,b}*ggt{a,b}.
Ich weiß aber nicht man die Umkehrung zeigt, vielleicht könnte mir jemand dabei helfen.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:01 So 27.12.2009 | | Autor: | pelzig |
> [...] also teilt ab kgV{a,b}*ggt{a,b}. Ich weiß aber nicht, wie
> man die Umkehrung zeigt, vielleicht könnte mir jemand dabei helfen.
Was für ne Umkehrung? In der Aufgabenstellung steht nichts davon.
Gruß, Robert
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 13:11 So 27.12.2009 | | Autor: | erik87 |
Sorry, ich meinte, ich muss noch zeigen ggT{a,b}*kgV{a,b}|ab.
Das gehört doch bei "~" noch dazu, oder?
Grüße, Erik
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:20 Di 29.12.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:35 Mo 28.12.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Sei R ein Hauptidealring. Für alle [mm]a,b\in[/mm] R gilt ggT
> {a,b}*kgV{a,b}~ab
> (~ kennzeichnet hier die Assoziertheitsrelation).
> Hallo, also ich weiß ich muss zeigen ab|ggt{a,b}*kgV{a,b}
> und umgekehrt.
Ja.
Du hast hier aber einen Hauptidealring, und dort gibt es eine eindeutige Primfaktorzerlegung. Damit kannst du doch $a = u [mm] \prod_{i=1}^n p_i^{e_i}$ [/mm] und $b = v [mm] \prod_{i=1}^n p_i^{f_i}$ [/mm] schreiben mit paarweise nicht-assoziierten Primelementen [mm] $p_1, \dots, p_n$, [/mm] mit Einheiten $u, v [mm] \in R^\ast$, [/mm] und mit natuerlichen Zahlen [mm] $e_i, f_i \in \IN$.
[/mm]
Kannst du damit $ggT(a, b)$ und $kgV(a, b)$ hinschreiben (bzw. etwas dazu assoziiertes)? Dann kannst du sofort die Aussage beweisen.
LG Felix
|
|
|
|
