ggT und kgV < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Seien a≥1 und b≥1 natürliche Zahlen.
(a) Beweisen Sie, dass kgV(a,b) jedes gemeinsame Vielfache von a und b teilt.
(b) Beweisen Sie mit Hilfe von Teil (a) dieser Aufgabe, dass jeder gemeinsame Teiler von a
und b ein Teiler von ggT(a,b) ist! |
Hallo Leute
a) Reicht hier die Definition miteinzubeziehen?
k=kgV(a,b) <=> a|k und b|k
Weiter gilt: a|v und b|v [mm] v\in\IN [/mm] => k|v Was zu zeigen war?!
k|v gilt ja weil v eigentlich nur ein Vielfaches von k ist, also x*k mit x aus IN.
b) ggT(a,b)=g
g|a und g|b Zusätzlich sei t (Teiler) definiert mit der Eigenschaft t|a und t|b => t|g Wie soll ich das mit Aufgabenteil a) zeigen?
Grüße, und einen schönen Abend noch
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:01 Fr 08.01.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Seien a≥1 und b≥1 natürliche Zahlen.
> (a) Beweisen Sie, dass kgV(a,b) jedes gemeinsame Vielfache
> von a und b teilt.
> (b) Beweisen Sie mit Hilfe von Teil (a) dieser Aufgabe,
> dass jeder gemeinsame Teiler von a
> und b ein Teiler von ggT(a,b) ist!
> Hallo Leute
>
> a) Reicht hier die Definition miteinzubeziehen?
>
> k=kgV(a,b) <=> a|k und b|k
> Weiter gilt: a|v und b|v [mm]v\in\IN[/mm] => k|v Was zu zeigen
> war?!
>
> k|v gilt ja weil v eigentlich nur ein Vielfaches von k ist,
> also x*k mit x aus IN.
Diese Aussage sollst du beweisen, nicht als Voraussetzung hineinstecken.
Vielleicht solltest du es mit einem Widerspruchsbeweis versuchen. Nimm an, es gebe ein gemeinsames Vielfaches von a und b, das kein Vielfaches von k ist.
Viele Grüße
Rainer
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