ggT von Polynomen < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:20 Mi 23.01.2008 | | Autor: | AldiNord |
| Aufgabe | | Bestimmte den ggT von [mm]g: x^4+14x^3+59x^2+46x-120[/mm] und [mm]f: x^3 + 4x^2 + x - 6[/mm] |
Hallo,
wie bereits gesagt, möchte ich im [mm] \IZ[x] [/mm] den ggT bestimmten. Hilfreiche Tools sagen mir, dass dieser x-1 sei, allerdings bekomm ich den Weg nicht dorthin.
Also ich möchte dies über den eukl. Algorithmus lösen.
Also, angefangen wie folgt:
[mm]g = q_1f + k_1 \ \ \ \Rightarrow q_1 = x+10 \ \ \ ,\ \ \ k_1 = 18x^2+42x-60[/mm]
[mm]f = q_2 k_1 + k_2 \ \ \ \Rightarrow q_2 = \frac{1}{18}x+\frac{5}{54} \ \ \ ,\ \ \ k_2 =\frac{4}{9}x-\frac{4}{9}[/mm]
[mm] k_1 [/mm] ist durch [mm] k_2 [/mm] teilbar, womit [mm] k_2 [/mm] ja der ggT wäre. Das Problem ist aber, dass [mm] k_2 \not\in \IZ[x].
[/mm]
Dieser [mm] k_2 [/mm] ist ja gar nicht soweit entfernt von der richtigen Lösung x-1, ich müsste ihn einfach nur mit 9/4 erweiteren und hätte das Ergebnis.
Allerdings weiß ich nicht ob ich das darf, und wenn ja warum?
Wäre echt super wenn mir jmd. weiterhelfen könnte.
[Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:46 Mi 23.01.2008 | | Autor: | Hoang84 |
Hallo,
Die Aufgabe habe ich zufällig auf meinen Übungszettel. Da wir den noch nicht korrigiert haben, könnte ich dir nur meine Idee geben, für die ich keine Garantie übernehmen kann.^^
Also die Polynomdivision dürftest du nicht anwenden können, weil du Brüche rauskriegst. Aber du könntest das Polynom einfach umschreiben indem du die Nullstellen ermittelst. Dann kriegst du diese alternative Darstellung.
[mm] x^4 [/mm] + [mm] 14x^3 [/mm] + [mm] 59x^2 [/mm] + 46x - 120 = (x-1)(x+4)(x+5)(x+6)
[mm] x^3 [/mm] + [mm] 4x^2 [/mm] + x - 6 = (x-1)(x+2)(x+3)
Der ggT wäre dann (x-1) weil dieser Faktor in beiden Polynomen vorkommt. Aber keine Garantie dass es richtig ist. ^_°
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