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p(x)=ggT( [mm] x^4+x³-7x²-7x+6 [/mm] , x²-4x-5)
in [mm] \IQ[x]. [/mm] |
Ich habe es zuerst mit dem euklidschen Algorithmus versucht, kam dann aber zu keinem Ergebnis, da ich immer einen Rest bekommen habe bzw. irgendwann eine Zahl ohne ein "x" hatte. Und das kann ja eigentlich nicht mein ggT sein, oder? Denn jede Zahl teilt ja ein Polynom.
Ich habe mir dann folgendes überlegt:
Der ggT von beiden Polynomen ist selber ein Polynom. Folglich muss er sich in Linearfaktoren zerlegen lassen. Da der ggT beide Polynome teilen muss, müssen das auch alle Linearfaktoren des ggT tun. Also habe ich das rechte Polynom (das vom Grad 2) in Linearfaktoren zu zerlegen, da das ja bei einem Polynom vom Grad 2 ziemlich einfach ist. Nun weiß ich: Wenn es einen ggT ungleich 1 gibt, dann muss er aus mindestens einem dieser Linearfaktoren bestehen. Denn andere Teiler vom rechten Polynom gibt es ja nicht. Ich habe nun also mit beiden Linearfaktoren bei dem linken Polynom die Polynomdivision durchgeführt. Beide male kam ein Rest raus.
-> die Linearfaktoren, die das rechte Polynom teilen, teilen nicht das linke.
-> es gibt keinen ggT größer als 1.
Aber kann das sein? Ich meine, warum sollte unser Prof. uns so eine Übungsaufgabe stellen, bei der man zu keinem Ergebnis kommt?
Oder habe ich irgendwo einen Denkfehler oder bloß sogar nur einen Rechenfehler gemacht? (zweites schließe ich eigentlich aus, da ich es zwei mal gerechnet habe).
Vielen Dank schon mal für die Hilfe!
PS: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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> Berechnen Sie
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> p(x)=ggT( [mm]x^4+x³-7x²-7x+6[/mm] , x²-4x-5)
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> in [mm]\IQ[x].[/mm]
> Ich habe es zuerst mit dem euklidschen Algorithmus
> versucht, kam dann aber zu keinem Ergebnis, da ich immer
> einen Rest bekommen habe bzw. irgendwann eine Zahl ohne ein
> "x" hatte. Und das kann ja eigentlich nicht mein ggT sein,
> oder? Denn jede Zahl teilt ja ein Polynom.
Hallo,
ja, jede rationale Zahl (außer 0) teilt jedes Polynom über [mm] \IQ.
[/mm]
Aber es gibt Polynome, die einen gemeinsamen Teiler haben, der einen Grad [mm] \ge [/mm] 1 hat.
Und dies ist hier offenbar nicht der Fall.
Also ist die von Dir errechnete Zahl ein ggT Deiner beiden Polynome, und jedes von Null verschiedene Vielfache davon auch.
Nun kann es sehr gut sein, daß Ihr definiert habt, daß der ggT das normierte Polynom größten Grades ist, welches beide Polynome teilt.
Damit hast Du dann den eindeutig bestimmten ggT 1.
Die beiden sind halt teilerfremd.
Gruß v. Angela
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