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| Aufgabe | i) Finden sie den ggT h der Polynome [mm] f=x^3 +x^2 [/mm] +2x und [mm] g=x^2 [/mm] +1 im Ring [mm] \IQ[x]. [/mm] Stellen sie h in der Form h= [mm] h_1 *f+h_2 [/mm] *g mit [mm] h_1 [/mm] , [mm] h_2 \in \IZ [/mm] dar.
ii) Finden sie den ggt h der ganzen Zahlen f=1111111111 und g=111111. Stellen sie h in der Form [mm] h=h_1 [/mm] *f + [mm] h_2 [/mm] *g dar. |
Hi,
so erst mal i:
1) [mm] (x^3 [/mm] + [mm] x^2 [/mm] + [mm] 2x):(x^2 [/mm] +1)=x+1 r=x-1
[mm] \Rightarrow (x^3 [/mm] + [mm] x^2 +2x)=(x+1)*(x^2 [/mm] + 1)+(x-1)
[mm] \gdw (x-1)=(x^3 [/mm] + [mm] x^2 [/mm] + [mm] 2x)-(x+1)(x^2 [/mm] +1)=f-(x+1)g
2) [mm] (x^2 [/mm] +1):(x-1)=x+1 r=2
[mm] \Rightarrow (x^2 [/mm] +1)=(x+1)(x-1)+2
[mm] \gdw 2=(x^2 +1)-(x+1)(x-1)=g-(x+1)(f-(x+1)g)=g(1+(x+1)^2)-(x+1)f
[/mm]
3) [mm] (x-1):2=\bruch{1}{2}x [/mm] r=-1
[mm] \Rightarrow (x-1)=\bruch{1}{2}x*2-1
[/mm]
[mm] \gdw 1=2*\bruch{1}{2}x-(x-1)
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] ggt(f,g)=ggT(2,-1)=1
1) Stimmt das?
2) Ich versuche ja die "1" als Linearkombination von f un g darzustellen. Dafür wollte ich die Gleichung [mm] 2=g(1+(x+1)^2)-(x+1)f [/mm] (aus zweiter Rechnung) verwenden. Jedoch will mir das nicht gelingen. Kann mir da jemand weiter helfen?
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Hallo Big Head,
das sieht doch soweit alles gut aus.
> i) Finden sie den ggT h der Polynome [mm]f=x^3 +x^2[/mm] +2x und
> [mm]g=x^2[/mm] +1 im Ring [mm]\IQ[x].[/mm] Stellen sie h in der Form h= [mm]h_1 *f+h_2[/mm] *g
> mit [mm]h_1[/mm] , [mm]h_2 \in \IZ[/mm] dar.
hm. Stimmt die Aufgabe wirklich so?
> ii) Finden sie den ggt h der ganzen Zahlen f=1111111111 und
> g=111111. Stellen sie h in der Form [mm]h=h_1[/mm] *f + [mm]h_2[/mm] *g dar.
Die hier glaube ich ja, die andere nicht.
> Hi,
>
> so erst mal i:
>
> 1) [mm](x^3[/mm] + [mm]x^2[/mm] + [mm]2x):(x^2[/mm] +1)=x+1 r=x-1
> [mm]\Rightarrow (x^3[/mm] + [mm]x^2 +2x)=(x+1)*(x^2[/mm] + 1)+(x-1)
> [mm]\gdw (x-1)=(x^3[/mm] + [mm]x^2[/mm] + [mm]2x)-(x+1)(x^2[/mm] +1)=f-(x+1)g
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Genau so geht das los mit dem erweiterten euklidischen Algorithmus.
> 2) [mm](x^2[/mm] +1):(x-1)=x+1 r=2
> [mm]\Rightarrow (x^2[/mm] +1)=(x+1)(x-1)+2
> [mm]\gdw 2=(x^2 +1)-(x+1)(x-1)=g-(x+1)(f-(x+1)g)=g(1+(x+1)^2)-(x+1)f[/mm]
> 3) [mm](x-1):2=\bruch{1}{2}x[/mm] r=-1
> [mm]\Rightarrow (x-1)=\bruch{1}{2}x*2-1[/mm]
> [mm]\gdw 1=2*\bruch{1}{2}x-(x-1)[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] ggt(f,g)=ggT(2,-1)=1
>
> 1) Stimmt das?
Das stimmt so weit.
> 2) Ich versuche ja die "1" als Linearkombination von f un g
> darzustellen. Dafür wollte ich die Gleichung
> [mm]2=g(1+(x+1)^2)-(x+1)f[/mm] (aus zweiter Rechnung) verwenden.
> Jedoch will mir das nicht gelingen. Kann mir da jemand
> weiter helfen?
Da steht ja im Prinzip alles da. Ich nehme an, dass Du nur irritiert bist, weil hier keine "Linearkombination" möglich ist. [mm] h_1, h_2 [/mm] können hier ja nicht aus [mm] \IZ [/mm] stammen, sondern auch nur aus [mm] \IQ[x].
[/mm]
[mm] \Rightarrow 1=\bruch{1}{2}(1+(x+1)^2)g-\bruch{1}{2}(x+1)f=-\left(\bruch{1}{2}x+\bruch{1}{2}\right)f+\left(\bruch{1}{2}x^2+x+1\right)g
[/mm]
(Probe machen!)
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:57 Fr 15.06.2012 | | Autor: | Big_Head78 |
Natürlich verschrieben, hatte das analog zum Bsp. aus Wikipedia gemacht, und da war es mot ganzen Zahlen, da war ich dann wohl etwas blind und habe dann nach ganzen Zahlen als Lsg gesucht.
Danke!
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