ggt und kgv < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:09 Mi 19.04.2006 | | Autor: | AriR |
(frage zuvor nicht gestellt)
Hey Leute, weiß einer von euch wo ich den Beweis zu folgemden Satz finde:
Satz Kleinstes gemeinsames Vielfaches und größter gemeinsamer Teiler hängen durch folgende Gleichung zusammen:
a·b=ggT(a,b)·kgV(a,b)
Beweis: Primfaktorzerlegung.
Wäre euch sehr dankbar :) Gruß Ari
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Hi Ari,
ich weiss gar nicht, ob man das als "Beweis" irgendwo findet. In meinem Zahlentheorie-Skript ist es als Korollar angegeben (und nicht bewiesen worden). Liegt vermutlich daran, dass der Beweis sehr einfach ist:
Betrachte die Zahlen a, b und c in ihrer Primfaktorzerlegung:
$a = [mm] \pm p_1^{\alpha_{1}}*\ldots*p_r^{\alpha_{r}}$
[/mm]
$b = [mm] \pm p_1^{\beta_{1}}*\ldots*p_r^{\beta_{r}}$
[/mm]
$c = [mm] \pm p_1^{\gamma_{1}}*\ldots*p_r^{\gamma_{r}}$
[/mm]
(Wenn einer der Primfaktoren in a, b oder c nicht vorkommt, setze einfach den Exponenten auf 0)
Wann ist denn nun c = ggT(a,b)? Und wann ist c = kgV(a,b)?
Ganz einfach:
$c = [mm] \pm [/mm] ggT(a,b) [mm] \gdw \gamma_i [/mm] = min( [mm] \alpha_i, \beta_i [/mm] ) [mm] \forall [/mm] i = [mm] 1,\ldots,r$
[/mm]
$c = [mm] \pm [/mm] kgV(a,b) [mm] \gdw \gamma_i [/mm] = max( [mm] \alpha_i, \beta_i [/mm] ) [mm] \forall [/mm] i = [mm] 1,\ldots,r$
[/mm]
Und wie sieht denn a*b in der Primfaktorzerlegung aus:
$a*b = [mm] \pm p_1^{\alpha_{1}+\beta_{1}}*\ldots*p_r^{\alpha_{r}+\beta_{r}}$
[/mm]
So sieht kgV(a,b) * ggT(a,b) aus:
$kgV(a,b) * ggT(a,b) = [mm] \pm p_1^{min( \alpha_1, \beta_1 )+max( \alpha_1, \beta_1 )}*\ldots*p_r^{min( \alpha_r, \beta_r )+max( \alpha_r, \beta_r )}$
[/mm]
Da nun min(x,y)+max(x,y) = x+y gilt (selber rausfinden warum!), ist klar, dass beide Primfaktordarstellungen identisch sind und somit
a*b = ggT(a,b)*kgV(a,b) gilt.
Alles klar?
Viele Grüße,
Michael
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:19 Mi 19.04.2006 | | Autor: | AriR |
ja ist klar geworden.. wir hatten nie diese schönen definition für den ggt und kgv so aufgeschrieben :)
viel dank :)
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