gleichgroße Teilflächen < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Die Funktion fc hat bei geeigneter Wahl von c im Intervall [a;b] genau eine Nullstelle x0.
Der Graph von fc, die x-Achse sowie die Geraden mit den Gleichungen x=a und x=b begrenzen eine Fläche, die aus zwei Teilen besteht. Bestimmen Sie c so, dass die beiden Teilflächen denselben Inhalt haben.
a) [mm] fc(x)=x^3-x+c; [/mm] a=0; b=2
b) fc(x)=x³-cx-1;a=0;b=2 |
Hallo zusammen
Ich komme hier gar nicht weiter
mein lehrerhat uns als tipp gegeben, dass man
[mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx}=\integral_{b}^{c}{f(x) dx}
[/mm]
gleichsetzen muss, jedoch verstehe ich schon von anfang an nicht, wieso die obere grenze des zweiten Integrals c sein muss und wieso die gleichung nicht so aussehen kann
[mm] \integral_{a}^{c}{f(x) dx}=\integral_{c}^{b}{f(x) dx}
[/mm]
Ich denke, dass die Gleichung so aussehen muss, weilja c zwischen den beiden intervallgrenzen sein soll, soweit ich es richtig verstanden habe...
Und außerdem muss man hier die Nullstelle berechnen um zur lösung zu kommen?
Helft mir bitte, ich weiß einfach keinen ansatz, zwar habe ich einen aber verstehe es nicht...
Danke!
|
|
| |
|
Hallo Powerranger,
> Die Funktion fc hat bei geeigneter Wahl von c im Intervall
> [a;b] genau eine Nullstelle x0.
> Der Graph von fc, die x-Achse sowie die Geraden mit den
> Gleichungen x=a und x=b begrenzen eine Fläche, die aus
> zwei Teilen besteht. Bestimmen Sie c so, dass die beiden
> Teilflächen denselben Inhalt haben.
>
> a) [mm]fc(x)=x^3-x+c;[/mm] a=0; b=2
> b) fc(x)=x³-cx-1;a=0;b=2
> Hallo zusammen
>
> Ich komme hier gar nicht weiter
> mein lehrerhat uns als tipp gegeben, dass man
>
> [mm]\integral_{a}^{b}{f(x) dx}=\integral_{b}^{c}{f(x) dx}[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
c ist nicht die obere Grenze des Integrationsintervalls, sondern die Konstante im Term!
Du musst [mm] \integral_a^{b}{f(x)\ dx} [/mm] in Abhängigkeit von c berechnen und anschließend c so bestimmen, dass das Integral zu 0 wird.
Alternative:
berechne die (vorhandene) Nullstelle von [mm] f_c(x) [/mm] in Abhängigkeit von c: [mm] x_N [/mm] und berechne danach:
[mm]\integral_{a}^{x_N}{f(x) dx}=\integral_{x_N}^{b}{f(x) dx}[/mm]
>
> gleichsetzen muss, jedoch verstehe ich schon von anfang an
> nicht, wieso die obere grenze des zweiten Integrals c sein
> muss und wieso die gleichung nicht so aussehen kann
>
> [mm]\integral_{a}^{c}{f(x) dx}=\integral_{c}^{b}{f(x) dx}[/mm]
>
> Ich denke, dass die Gleichung so aussehen muss, weilja c
> zwischen den beiden intervallgrenzen sein soll, soweit ich
> es richtig verstanden habe...
> Und außerdem muss man hier die Nullstelle berechnen um
> zur lösung zu kommen?
>
> Helft mir bitte, ich weiß einfach keinen ansatz, zwar habe
> ich einen aber verstehe es nicht...
>
> Danke!
Gruß informix
|
|
|
| |
|
Hallo informix,
Also so weit so gut, aber wie soll ich denn die Nullstelle berechnen?
x³-x+c=0
und dann?
Liebe Grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:43 Mi 11.11.2009 | | Autor: | Infinit |
Hallo Powerranger,
lese doch bitte mal die Antwort von informix richtig durch.
Nicht die Funktion muss Null ergeben, sondern die Differenz der Flächenintegrale.
Du musst also in Abhängigkeit von c die Integrale bestimmen.
Viele Grüße,
Infinit
|
|
|
| |
|
Hallo Powerranger,
> Hallo informix,
>
> Also so weit so gut, aber wie soll ich denn die Nullstelle
> berechnen?
>
> x³-x+c=0
>
> und dann?
>
![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]") die Idee mit der Nullstelle war nicht zielführend, ich hatte die Art der Funktion übersehen.
Daher geht nur der andere Weg, den ich als Alternative geschrieben hatte.
Gruß informix
|
|
|
| |
|
Halllo :)
Ach ist doch nicht schlimm, aber soweit ich es richtig verstehe, war die alternative mit der nullstelle :D
Also dann muss ich das wohl mit dem 1. lösungsvorschlag machen ne?
Aber wieso muss ich denn das integral = 0 setzen? weil die Nullstelle c ist?dann muss ich aber auch nach c umformen oder?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:26 Mi 11.11.2009 | | Autor: | Infinit |
Nein, da hast du noch einen Denkfehler drin. Die Flächen unter den beiden Teilflächen sollen gleich groß sein. Das ist gleichbedeutend damit, dass die Differenz der Integrale, worüber Du die Fläche berechnest, Null ergibt. weduwe hat dies etwas anders dargestellt, aber so kannst Du rechnen.
Die Obergrenze des einen Integrals, dort mit b bezeichnet, ist die Untergrenze des zweiten Integrals. Das ist allerdings nicht sehr glücklich gewählt, da b schon als Obergrenze des Gesamtintegrals gewählt wurde. Insofern ist der Tipp Deines Lehrers auch recht verwirrend. Was wir wissen, ist doch, dass beide Teilintegrale gleich groß sein sollen. Wenn irgendwo zwischen der Untergrenze 0 und der Obergrenze 2 eine Nullstelle liegt, und wir bezeichnen diese noch unbekannte Nullstelle mit [mm] x_0 [/mm], so kann man doch schreiben
$$ - [mm] \int_0^{x_0} [/mm] f(x) [mm] \, [/mm] dx = [mm] \int_{x_0}^2 [/mm] f(x) [mm] \, [/mm] dx [mm] \, [/mm] . $$
Du setzt f(x) ein, berechnest in Abhängigkeit von c die beiden Integrale.
Viele Grüße,
Infinit
|
|
|
| |
|
Danke erstmal, ich glaube ich verstehe es, wie ihr es meint...wir hatten den begriff der bilanzsumme, und bezogen auf das verstehe ich auch wieso es null ergeben muss.
Aber wasich jetzt nicht so recht verstehe ist, wieso ihr
- [mm] \integral_{0}^{x_{0}}{f(x) dx} [/mm] bildet
und wie man die gleichung dann mit 2 variablen (c und [mm] x_{0} [/mm] ) lösen soll.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:04 Mi 11.11.2009 | | Autor: | weduwe |
> Danke erstmal, ich glaube ich verstehe es, wie ihr es
> meint...wir hatten den begriff der bilanzsumme, und bezogen
> auf das verstehe ich auch wieso es null ergeben muss.
> Aber wasich jetzt nicht so recht verstehe ist, wieso ihr
>
> - [mm]\integral_{0}^{x_{0}}{f(x) dx}[/mm] bildet
weil die fläche/n orientiert ist/sind.
die fläche unter der x-achse hat in diesem sinne negatives vorzeichen.
hier interessiert aber nur der betrag der fläche, daher
[mm] |A_1|=-A_1 [/mm] wegen [mm] A_1< [/mm] 0
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
müsste da für c=1 rauskommen?
Sagt bitte ja, ich komme ans ende meiner geduld !!!
|
|
|
| |
|
ich habe es selbst schon gemerkt, dass es falsch ist, deswegen lass ich es jetzt auch sein und bedanke mich bei jeder hilfe, die ich bekommen habe !
Guten abend wünsch ich euch noch!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:26 Mi 11.11.2009 | | Autor: | weduwe |
es sollte c = -1 herauskommen
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:07 Mi 11.11.2009 | | Autor: | weduwe |
> Hallo informix,
>
> Also so weit so gut, aber wie soll ich denn die Nullstelle
> berechnen?
>
> x³-x+c=0
>
> und dann?
>
> Liebe Grüße
die nullstelle brauchst du doch gar nicht
du sollst nur c aus der flächengleichheit berechnen
[mm] -\integral_{0}^{b}{f(x) dx}=\integral_{b}^{2}{f(x) dx}
[/mm]
woraus du c berechnen kannst
|
|
|
| |
|
Guten Abend nochmal,
Trotz allem konnte ich mich von den aufgaben nicht lösen und habe auch noch b ausgerechnet...da würde ich gerne wissen wollen, ob dort c=1 rauskommt?
lieben Dank!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:44 Mi 11.11.2009 | | Autor: | weduwe |
> Guten Abend nochmal,
>
> Trotz allem konnte ich mich von den aufgaben nicht lösen
> und habe auch noch b ausgerechnet...da würde ich gerne
> wissen wollen, ob dort c=1 rauskommt?
>
> lieben Dank!
das ist müll 
[mm] c=-1\to x_0\approx [/mm] 1.325
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:39 Mi 16.12.2009 | | Autor: | Nehlja |
Ich bin gerade dabei die gleiche Aufgabe zu lösen uns stoße auf folgendes Probblem:
Ich habe die beiden Integrale der orientierten Flächen nun gleich gesetzt und dann aufgelöst. Da kommt dann bei mir diese Gleichung raus:
[mm] \bruch{1}{4}x_{0}^{4}-\bruch{1}{2}x_{0}+cx_{0}=2+2C-(\bruch{1}{4}x_{0}^{4}-\bruch{1}{2}x_{0}^{2}+cx_{0})
[/mm]
wenn ich das jetzt aber weiter auflöse, bekomme ich ja keine glatte Zahl für C raus. Ich denke ich habe da irgendwo einen Denkfehler drin, denn wenn ich [mm] \bruch{1}{4}x_{0}^{4}-\bruch{1}{2}x_{0}^{2}+cx_{0} [/mm] addieren würde und nicht subtrahieren, dann hätte ich da im Endeffekt 0=2+2C stehen und da käme ja dann für c das richtige Ergebnis -1 raus. Ich weiß halt nur nicht was ich falsch mache. Wäre echt toll wen mir da jemand weiterhelfen könnte
|
|
|
| |
|
Hallo, die Fläche im Intervall von 0 bis [mm] x_0 [/mm] liegt unterhalb der x-Achse, setze also den gesamten Term auf der linken Seite deiner Gleichung in Klammern und setze ein minus davor, weiterhin hast du einen Exponenten 2 vergessen [mm] -\bruch{1}{2}x_0^{2} [/mm] steht auf der linken Seite, Steffi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:20 Mi 16.12.2009 | | Autor: | Nehlja |
Ok, vielen dank. Aber woher weiß ich, dass das Intervall von 0 bis [mm] x_{0}unterhalb [/mm] der X-Achse liegt und nicht das Intervall von [mm] x_{0} [/mm] bis 2?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:32 Mi 16.12.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
die Summe der 2 Integrale muss 0 sein, oder das eine Integral das negative des anderen, weil ja die eine Fläche unter der x-Achse liegt. dann wäre deine Rechnunmg richtig.
welch unten, welche oben liegt ist egal, entweder hast du 2 gleiche negative ausdrücke oder 2 gleiche positive.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
Hallo, c=1 ist korrekt, Steffi
|
|
|
|
![[guckstduhier]](/images/smileys/guckstduhier.gif "[guckstduhier]"){kind=small}
Flächeninhalt