gleichheit 2er potenzen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 06:53 Mi 17.03.2010 | | Autor: | AriR |
Hey Leute,
ich stelle einfach mal eine Frage die mehr oder weniger vom Himmel fällt :P
Kann man zeigen, dass [mm] (1+\bruch{x}n)^n=(1+\bruch1n)^{xn} [/mm] ist?
gruß :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:05 Mi 17.03.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hey Leute,
>
> ich stelle einfach mal eine Frage die mehr oder weniger vom
> Himmel fällt :P
>
> Kann man zeigen, dass [mm](1+\bruch{x}n)^n=(1+\bruch1n)^{xn}[/mm]
> ist?
Nein., das kann man nicht zeigen, denn es ist falsch, wie man schon im Fall n=1 sieht.
links steht 1+x und rechts steht [mm] 2^x
[/mm]
für n>1 und x=n sieht man auch sofort, dass obiges falsch ist
FRED
>
>
> gruß :)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:08 Mi 17.03.2010 | | Autor: | AriR |
mist stimmt :(
kannst du mir den bitte helfen den ehler in meiner Rechnung zu finden?
Also allgemein geht es um die Herleitung von exp(x)
Allgemein müsste das ca so ablaufen.
[mm] exp(x)\approx exp'(x_0)*(x-x_o)+exp(x_0) [/mm]
Aufgrund der Forderung, dass exp'(x)=exp(x) folgt,
[mm] exp(x)\approx exp(x_0)*((x-x_o)+1) [/mm] (*)
Das wiederum für [mm] x_0=0 [/mm] und [mm] x=\bruch{k}n [/mm] ergibt:
[mm] exp(\bruch{k}n)\approx 1*(\bruch{k}n+1)
[/mm]
(*) ergibt für [mm] x_0=\bruch{x}n [/mm] und [mm] x=\bruch{2k}n
[/mm]
[mm] exp(\bruch{2k}n)\approx exp(\bruch{k}n)*((\bruch{2k}n-\bruch{k}n)+1)=(\bruch{k}n+1)*(\bruch{k}n+1)=(\bruch{k}n+1)^2
[/mm]
für [mm] n\to\infty [/mm] setzt sich das gane induktiv fort zu
[mm] exp(\bruch{kn}n)=exp(k)=lim_{n\to\infty}(1+\bruch{k}n)^n
[/mm]
ich denke abgesehen von ein paar formalen fehlern sollte das ganze in etwa hinkommen oder?
Meine Frage ist nun folgende:
Würde ich die obige Rechnung direkt für x=1 machen, dann käme ich auf das Ergebnis
[mm] exp(\bruch1n)=1+\bruch1n
[/mm]
[mm] exp(\bruch2n)=(1+\bruch1n)^2
[/mm]
....
soweit so gut, aber was wäre wenn ich das spiel solange induktiv fortsetze bis
[mm] exp(\bruch{kn}n)?
[/mm]
Müsste ich dann nicht auf sowas wie
[mm] exp(k)=exp(\bruch{kn}n) =(1+\bruch1n)^{kn} \not= (1+\bruch{k}n)^n
[/mm]
kommen, im Widerspruch zur obigen Rechnung?
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:23 Mi 17.03.2010 | | Autor: | fred97 |
> mist stimmt :(
>
> kannst du mir den bitte helfen den ehler in meiner Rechnung
> zu finden?
>
> Also allgemein geht es um die Herleitung von exp(x)
> Allgemein müsste das ca so ablaufen.
>
> [mm]exp(x)\approx exp'(x_0)*(x-x_o)+exp(x_0)[/mm]
>
> Aufgrund der Forderung, dass exp'(x)=exp(x) folgt,
>
>
> [mm]exp(x)\approx exp(x_0)*((x-x_o)+1)[/mm] (*)
>
> Das wiederum für [mm]x_0=0[/mm] und [mm]x=\bruch{k}n[/mm] ergibt:
>
>
> [mm]exp(\bruch{k}n)\approx 1*(\bruch{k}n+1)[/mm]
>
> (*) ergibt für [mm]x_0=\bruch{x}n[/mm] und [mm]x=\bruch{2k}n[/mm]
>
> [mm]exp(\bruch{2k}n)\approx exp(\bruch{k}n)*((\bruch{2k}n-\bruch{k}n)+1)=(\bruch{k}n+1)*(\bruch{k}n+1)=(\bruch{k}n+1)^2[/mm]
>
>
> für [mm]n\to\infty[/mm] setzt sich das gane induktiv fort zu
>
> [mm]exp(\bruch{kn}n)=exp(k)=lim_{n\to\infty}(1+\bruch{k}n)^n[/mm]
Allgemein gilt:
[mm] $e^x= lim_{n\to\infty}(1+\bruch{x}n)^n$ [/mm] für jedes x
>
>
> ich denke abgesehen von ein paar formalen fehlern sollte
> das ganze in etwa hinkommen oder?
>
> Meine Frage ist nun folgende:
> Würde ich die obige Rechnung direkt für x=1 machen, dann
> käme ich auf das Ergebnis
>
> [mm]exp(\bruch1n)=1+\bruch1n[/mm]
Das "=" ist falsch
>
> [mm]exp(\bruch2n)=(1+\bruch1n)^2[/mm]
Das "=" ist falsch
>
> ....
>
> soweit so gut, aber was wäre wenn ich das spiel solange
> induktiv fortsetze bis
>
> [mm]exp(\bruch{kn}n)?[/mm]
>
> Müsste ich dann nicht auf sowas wie
>
>
> [mm]exp(k)=exp(\bruch{kn}n) =(1+\bruch1n)^{kn} \not= (1+\bruch{k}n)^n[/mm]
Das zweite "=" ist falsch
Fred
>
> kommen, im Widerspruch zur obigen Rechnung?
>
>
> Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:25 Mi 17.03.2010 | | Autor: | AriR |
jo stimmt :)
dann ersetze ich die paar "=" durch [mm] "\approx" [/mm] und weiß aber leider immer noch nicht wo denn hier genau der fehler liegt :(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:05 Mi 17.03.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> jo stimmt :)
>
> dann ersetze ich die paar "=" durch [mm]"\approx"[/mm] und weiß
> aber leider immer noch nicht wo denn hier genau der fehler
> liegt :(
Gar kein Fehler. Wenn [mm] $n\gg [/mm] k$, dann ist
[mm] \left(1+\bruch{1}{n}\right)^k \approx 1+\bruch{k}{n} [/mm]
und daher
[mm] \left(1+\bruch{1}{n}\right)^{kn} \approx \left(1+\bruch{k}{n}\right)^n [/mm] .
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:24 Mi 17.03.2010 | | Autor: | AriR |
vielen dank :)
schönen abend noch
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