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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:24 Mo 12.05.2008 | | Autor: | skydyke |
| Aufgabe | | Zeigen Sie: [mm] f(x)=\wurzel{x} [/mm] ist auf [0,1] [mm] \subset \IR [/mm] gleichmäßig stetig aber nicht Lipschitz-stetig |
Hallo,
also ich hab den satz: Seien X,Y metrische Räume, K [mm] \subseteq [/mm] X kompakt, f:K [mm] \to [/mm] Y stetig [mm] \Rightarrow [/mm] f gleichmäßig stetig
also muss man zeigen dass das intervall [0,1] kompakt ist, dies ist der fall da [0,1] ein abgeschlossenes und beschränktes intervall ist (ich weiß aber nicht genau wie ich das zeigen kann, würde das einfach so hinschreiben) [mm] \Rightarrow [/mm] [0,1] kompakt ist. jetzt muss ich noch zeigen das f stetig ist. da weiß ich niocht genau wie ich das zeigen soll, aber man weiß ja das die funktion stetig ist. und daraus folgt dann am ende, dass f gleichmäßig stetig auf [0,1] ist.
und dann soll man ja noch zeigen das es nicht lipschitz-stetig ist, und da hab ich so meine probleme, denn ich hab so angefangen:
L-stetig: [mm] \gdw [/mm] ein L>0 existiert:d(f(x),f(y)) [mm] \le [/mm] L*d(x,y) für alle x,y [mm] \in [/mm] X
[mm] \Rightarrow d(\wurzel{x},\wurzel{y}) \le [/mm] L*d(x,y)
[mm] \Rightarrow \wurzel{x} [/mm] - [mm] \wurzel{y} \le [/mm] L* (x-y)
x-y ist doch immer größer als [mm] \wurzel{x} [/mm] - [mm] \wurzel{y}, [/mm] so und das kann ja laut der aufgabenstellung nicht sein, also WO ist mein fehler? hab ich da irgendwas falsch interpretiert?
wär schön wenn mir da einer helfen könnte
lg
Sabrina
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:46 Mo 12.05.2008 | | Autor: | andreas |
hi
> Zeigen Sie: [mm]f(x)=\wurzel{x}[/mm] ist auf [0,1] [mm]\subset \IR[/mm]
> gleichmäßig stetig aber nicht Lipschitz-stetig
> also ich hab den satz: Seien X,Y metrische Räume, K
> [mm]\subseteq[/mm] X kompakt, f:K [mm]\to[/mm] Y stetig [mm]\Rightarrow[/mm] f
> gleichmäßig stetig
>
> also muss man zeigen dass das intervall [0,1] kompakt ist,
> dies ist der fall da [0,1] ein abgeschlossenes und
> beschränktes intervall ist (ich weiß aber nicht genau wie
> ich das zeigen kann, würde das einfach so hinschreiben)
über abgeschlossenheit kann man hier vielleicht noch ein paar worte verlieren, die beschränktheit ist glaube ich klar [mm] ($\forall \, [/mm] x [mm] \in [/mm] [0,1]: |x| [mm] \leq [/mm] 1$)
> [mm]\Rightarrow[/mm] [0,1] kompakt ist. jetzt muss ich noch zeigen
> das f stetig ist. da weiß ich niocht genau wie ich das
> zeigen soll, aber man weiß ja das die funktion stetig ist.
ich denke die stetigkeit sollte man hier schon noch zeigen, wenn die nicht aus def vorlesung bekannt ist.
> und daraus folgt dann am ende, dass f gleichmäßig stetig
> auf [0,1] ist.
>
> und dann soll man ja noch zeigen das es nicht
> lipschitz-stetig ist, und da hab ich so meine probleme,
> denn ich hab so angefangen:
> L-stetig: [mm]\gdw[/mm] ein L>0 existiert:d(f(x),f(y)) [mm]\le[/mm] L*d(x,y)
> für alle x,y [mm]\in[/mm] X
>
> [mm]\Rightarrow d(\wurzel{x},\wurzel{y}) \le[/mm] L*d(x,y)
> [mm]\Rightarrow \wurzel{x}[/mm] - [mm]\wurzel{y} \le[/mm] L* (x-y)
>
> x-y ist doch immer größer als [mm]\wurzel{x}[/mm] - [mm]\wurzel{y},[/mm] so
> und das kann ja laut der aufgabenstellung nicht sein, also
> WO ist mein fehler?
das gilt eben nahe bei der null nicht mehr (skizziere den graph dort mal):
nimm mal an, dass es solch ein endliches $L$ gibt und setze zum beispile $y = 0$, dann muss ja für $x > 0$ gelten: [mm] $|\sqrt{x} [/mm] - [mm] \sqrt{0}| \leq [/mm] L|x - 0|$, also (wegen der positivheit der ausdrücke in den beträgen) [mm] $\sqrt{x} \leq [/mm] Lx$ und damit auch [mm] $\frac{1}{\sqrt{x}} \leq [/mm] L$. was passiert denn nun mit der linken seite für $x [mm] \to [/mm] 0$?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:45 Di 13.05.2008 | | Autor: | skydyke |
hi,
also die linke seite wird wenn es gegen 0 geht immer größer als die rechte seite und damit hab ich dann gezeigt, dass es nicht lipschitz stetig ist.
aber wie zeigt ich denn die stetigkeit von f? ich komm mit dem begriff stetigkeit nicht so gut klar. ich hab als definition im skript das [mm] \varepsilon [/mm] - [mm] \delta [/mm] - Kreterium und damit komm ich überhaupt nicht klar. ich weiß einfach nicht wie ich die stetigkeit zeigen soll.
lg
sabrina
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Hiho,
als erstes überlege dir erstmal, was die Stetigkeitsdefinition aussagt.
[mm]\forall\varepsilon>0 \text{ }\exists \delta > 0 \text{ }\forall x,y: |x-y| < \delta \Longrightarrow |\sqrt{x} - \sqrt{y}|< \varepsilon[/mm]
Oder anders: Finde zu jedem [mm] \varepsilon [/mm] ein [mm] \delta, [/mm] so dass [mm]|\sqrt{x} - \sqrt{y}| < \varepsilon [/mm]
Als Tip: [mm](x-y) = ((\sqrt{x})^2 - (\sqrt{y})^2) = (\sqrt{x} - \sqrt{x})(\sqrt{x} + \sqrt{y})[/mm]
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