gleichmäßige Konvergenz < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:28 Mi 25.04.2007 | | Autor: | CPH |
| Aufgabe | Zeige, dass die Folge der differenzierbaren Funktionen [mm] f_n(x) [/mm] = [mm] \wurzel{\bruch{1}{n} + x^2}, [/mm] n [mm] \in \IN,
[/mm]
gleichmäßig auf [mm] \IR [/mm] gegen die Betragsfunktion |x| konvergiert. Konvergiert auch die Folge der
Ableitungen [mm] (f'_n)_n [/mm] gleichmäßig auf R? |
Hallo
wie zeige ich gleichmäßige Konvergenz gegen eine Funktion?
Was sagt mir das über die Ableitungen?
MfG
Christoph
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:38 Mi 25.04.2007 | | Autor: | wauwau |
glm Konvergenz einer Funktionen folge [mm] f_{n}(x) [/mm] gegen f(x) heißt:
[mm]\forall \epsilon > 0 \exists N_{0} \forall n\ge N_{0} |f_{n}(x) - f(x)|<\epsilon[/mm]
im ggst. Fall also genügt zu zeigen, dass
[mm] |\wurzel{\bruch{1}{n}+x^2}-|x|| [/mm] < [mm] \bruch{1}{\wurzel{n}}, [/mm] was aber trivial ist (Falluntescheidung x<0, [mm] x\le [/mm] 0)
Die Ableitungsfunktionenfolge ist
[mm] \bruch{x}{\wurzel{\bruch{1}{n}+x^2}} [/mm] diese konvergiert (punktweise auf alle Fälle) für alle x gegen sign(x) (der Vorzeichenfunktion)
ob glm oder nicht, kannst du nun selbst überlegen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:36 Do 26.04.2007 | | Autor: | CPH |
Vielen Dank, deine Hinweise halfen sehr.
MfG
CPH
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