gleichmäßige Konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:41 Do 26.06.2008 | | Autor: | moomann |
| Aufgabe | | Für jedes [mm] n\in \IN [/mm] definiere [mm] f_{n}:[0,1] \to \IR [/mm] durch [mm] f_{n}(t):= \sin \left( \bruch{n\pi}{nt+1} \right). [/mm] Überprüfen Sie die Folge [mm] (f_{n})_{n\in \IN} [/mm] auf gleichmäßige und punktweise Konvergenz und berechnen Sie punktweise die Grenzfunktion f. |
Hallo!
Ich habe bereits herausgefunden, dass [mm] f_{n} [/mm] punktweise konvergent ist. Als Grenzfunktion erhalte ich
f:[0,1] [mm] \to \IR, [/mm] f(t):= [mm] \sin \left( \bruch{\pi}{t} \right).
[/mm]
Der Professor meinte, dass nur eine der Konvergenzen vorliege. Folglich muss die Folge gleichmäßig konvergent sein. Der Beweis ist mir allerdings misslungen.
Ich habe versucht zu zeigen:
[mm] \exists \varepsilon>0 \forall n_{0}\in\IN \exists n\ge n_{0} \forall t\in[0,1]: |f_{n}(t)-f(t)| \ge \varepsilon. [/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:44 Do 26.06.2008 | | Autor: | moomann |
Letzte Zeile sollte heißen
$ [mm] \exists \varepsilon>0 [/mm] $ $ [mm] \forall n_{0}\in\IN [/mm] $ $ [mm] \exists n\ge n_{0} [/mm] $ $ [mm] \exists t\in[0,1]: |f_{n}(t)-f(t)| \ge \varepsilon. [/mm] $
Gibt es eine Editier-Funktion?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:52 Do 26.06.2008 | | Autor: | Somebody |
> Letzte Zeile sollte heißen
> [mm]\exists \varepsilon>0[/mm] [mm]\forall n_{0}\in\IN[/mm] [mm]\exists n\ge n_{0}[/mm]
> [mm]\exists t\in[0,1]: |f_{n}(t)-f(t)| \ge \varepsilon.[/mm]
> Gibt
> es eine Editier-Funktion?
Ja klar. Falls Du eingelogt bist und "reagieren" gewählt hast, denn wird Dir eine Liste von Möglichkeiten "aktiv zu werden" angeboten (je mit zugehöriger Schaltfläche). Eine dieser Schaltflächen ist für das "Bearbeiten" des eigenen Artikels (der eigenen Frage). Wählst Du diese Schaltfläche, wird das Editierfenster mit dem bisherigen Text Deines Beitrages geöffnet und Du kannst Editieren was und wieviel Du willst.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:56 Do 26.06.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Für jedes [mm]n\in \IN[/mm] definiere [mm]f_{n}:[0,1] \to \IR[/mm] durch
> [mm]f_{n}(t):= \sin \left( \bruch{n\pi}{nt+1} \right).[/mm]
> Überprüfen Sie die Folge [mm](f_{n})_{n\in \IN}[/mm] auf
> gleichmäßige und punktweise Konvergenz und berechnen Sie
> punktweise die Grenzfunktion f.
> Hallo!
>
> Ich habe bereits herausgefunden, dass [mm]f_{n}[/mm] punktweise
> konvergent ist. Als Grenzfunktion erhalte ich
> f:[0,1] [mm]\to \IR,[/mm] f(t):= [mm]\sin \left( \bruch{\pi}{t} \right).[/mm]
>
> Der Professor meinte, dass nur eine der Konvergenzen
> vorliege. Folglich muss die Folge gleichmäßig konvergent
> sein. Der Beweis ist mir allerdings misslungen.
Gleichmäßige Konvergenz impliziert punktweise Konvergenz (warum?)
Wenn nur eines von beiden vorliegt, kann die Folge nicht glm. konvergent sein.
Tipp: Du hast dir nicht überlegt, was am linken Rand des Intervalls (t=0) passiert.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:29 Do 26.06.2008 | | Autor: | moomann |
Ich hatte mich verschrieben. Ich meinte natürlich, dass die Folge NICHT gleichmäßig konvergent sein könne.
Ist folgender Gedanke richtig?
Sei [mm] \varepsilon [/mm] := 0,5 und sei [mm] n_{0} \in \IN. [/mm] Dann kann ich mir ein sehr großes n wählen und ein sehr kleines t, sodass
$ [mm] \sin \left( \bruch{n\pi}{nt+1} \right) [/mm] $ mit Sicherheit kleiner als zum Beispiel 0,1 ist und $ [mm] \sin \left( \bruch{\pi}{t} \right) [/mm] = 1 $ mit t = [mm] \bruch{2}{2k+1}.
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:58 Do 26.06.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Moomann,
ich wollte mir jetzt - ehrlich gesagt - keine großen Gedanken dazu machen, ob Du so möglicherweise auch zeigen kannst, dass die Funktionenfolge nicht glm. konvergent ist.
Es gibt ein einfaches Argument, warum die Funktionenfolge nicht glm. konvergent sein kann:
Du hast schon hingeschrieben, dass die Funktionenfolge auf $(0,1]$ punktweise gegen [mm] $f(t)=\sin(\pi/t)$ [/mm] konvergiert (das sollte man noch formal ausführlich machen, grob gesagt stimmt es aber z.B., weil [mm] $f_n(t)=\sin\left(\frac{n\pi}{nt+1}\right)=\sin\left(\frac{\pi}{t+\frac{1}{n}}\right)$ [/mm] und weil der [mm] $\sin(.)$ [/mm] dann für $t [mm] \in [/mm] (0,1]$ (rechtsseitig) stetig an der Stelle [mm] $\frac{\pi}{t}$ [/mm] ist). Außerdem gilt [mm] $f_n(0)=\sin(n\pi)=0 \to [/mm] 0$ bei $n [mm] \to \infty$.
[/mm]
Also:
[mm] $f_n$ [/mm] konvergiert (punktweise) gegen
$f:[0,1] [mm] \to \IR$ [/mm] definiert durch $f(0):=0$ und [mm] $f(t):=\sin(\pi/t)$ [/mm] für $t [mm] \in [/mm] (0,1]$.
Klar ist: Alle [mm] $f_n$ [/mm] sind stetig (auf $[0,1]$). Würden die [mm] $f_n$ [/mm] gleichmäßig (auf $[0,1]$) konvergieren, so käme nur $f$ als (gleichmäßige) Grenzfunktion der [mm] $f_n$ [/mm] in Frage (Warum?). Nun gibt es einen Satz der Analysis, der besagt:
Wenn eine Folge stetiger Funktionen glm. konvergiert, so ist die Grenzfunktion auch stetig.
(siehe auch ![[]](/images/popup.gif) Satz 15.10, der diese Aussage leicht impliziert)
Ist denn obige Grenzfunktion $f$ überall stetig? Bzw. besser: Ist $f$ denn stetig an [mm] $t_0=0$? [/mm] Gilt also:
Wenn [mm] $(t_n)_{n \in \IN}$ [/mm] (irgend)eine Folge in $[0,1]$ mit [mm] $t_n \to [/mm] 0$ ($n [mm] \to \infty$) [/mm] ist, dass daraus schon folgt, dass [mm] $\lim_{n \to \infty}f(t_n)=\sin(\pi/t_n)\blue{=f(0)=0}$ [/mm] ist?
Interessant dafür ist es sicher, z.B. eine spezielle Folge [mm] $(t_n)_{n \in \IN}$ [/mm] so zu definieren, dass [mm] $(\star)$ $\frac{\pi}{t_n}=\frac{\pi}{2}+n*2\pi$ [/mm] gilt... Warum?
(Wichtig:
[mm] $(\star)$ [/mm] mal umformen, dass man auch wirklich sieht, dass diese [mm] $t_n \in [/mm] [0,1]$ sind und dass [mm] $t_n \to [/mm] 0$ bei $n [mm] \to \infty$ [/mm] gilt.)
Gruß,
Marcel
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