gleichmäßige Konvergenz < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:27 Mi 16.12.2009 | | Autor: | ms2008de |
| Aufgabe | Sei [mm] (f_{n})_{n} [/mm] eine Funktionenfolge gegeben durch [mm] f_{n}(x) =\bruch{nx}{1+n^2x^2}.
[/mm]
Prüfen Sie, ob die Folge gleichmäßig auf [0, 1] konvergiert |
Hallo,
Also ich bin mir sicher, dass die Folge nicht gleichmäßig konvergiert. Hab auch schon den punktweisen Grenzwert berechnet, der 0 ist und gezeigt, dass die Folge auf [1, [mm] \infty] [/mm] gleichmäßig konvergiert. Nur wie geh ich im allgemeinen vor, wenn ich zeigen soll, dass eine Funktionenfolge nicht gleichmäßig konvergiert. Geb ich mir da ein konkretes [mm] \varepsilon [/mm] vor und zeige dass [mm] |f_{n}(x) [/mm] -f(x)| [mm] >\varepsilon [/mm] für alle N? Oder wie ist hier konkret vorzugehen?
Wäre um jede Hilfe dankbar.
Viele Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:35 Mi 16.12.2009 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm](f_{n})_{n}[/mm] eine Funktionenfolge gegeben durch [mm]f_{n}(x) =\bruch{nx}{1+n^2x^2}.[/mm]
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> Prüfen Sie, ob die Folge gleichmäßig auf [0, 1]
> konvergiert
> Hallo,
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> Also ich bin mir sicher, dass die Folge nicht gleichmäßig
> konvergiert. Hab auch schon den punktweisen Grenzwert
> berechnet, der 0 ist und gezeigt, dass die Folge auf [1,
> [mm]\infty][/mm] gleichmäßig konvergiert. Nur wie geh ich im
> allgemeinen vor, wenn ich zeigen soll, dass eine
> Funktionenfolge nicht gleichmäßig konvergiert. Geb ich
> mir da ein konkretes [mm]\varepsilon[/mm] vor und zeige dass
> [mm]|f_{n}(x)[/mm] -f(x)| [mm]>\varepsilon[/mm] für alle N? Oder wie ist
> hier konkret vorzugehen?
Nimm mal an, [mm] (f_n) [/mm] würde auf [0,1] gleichmäßig gegen 0 konvergieren, dann gäbe es zu [mm] $\varepsilon [/mm] = 1/3$ ein N [mm] \in \IN [/mm] mit:
(*) [mm] $|f_n(x)-0| [/mm] = [mm] f_n(x) [/mm] < 1/3$ für n >N und alle x [mm] \in [/mm] [0,1]
Nun ist aber [mm] $f_n(1/n) [/mm] =1/2$ für jedes n, somit kann (*) nicht gelten. [mm] (f_n) [/mm] konvergiert daher nicht glm auf [0,1]
Auf [mm] $f_n(1/n) [/mm] =1/2$ kommt man entweder, weil man es "sieht" oder durch eine kleine Kurvendiskussion (ist immer zu empfehlen)
FRED
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> Wäre um jede Hilfe dankbar.
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> Viele Grüße
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